【题目】如图,在直角坐标系中,矩形OABC的边OA在x轴上,OC在y轴上,且B的坐标为(8,6),动点D从B点出发,以1个单位长度每秒的速度向C点运动t秒(D不与B,C重合),连接AD,将△ABD沿AD翻折至△AB'D(B'在矩形的内部或边上),连接DB',DB'所在直线与AC交于点F,与OA所在直线交于点E.
(1)①当t= 秒,B'与F重合;
②求线段CB'的取值范围;
(2)①求EB'的长度(用含t的代数式表示),并求出t的取值范围;
②当t为何值时,△AEF是以AE为底的等腰三角形?并求出此时EC的长度.
【答案】(1)①3;②4≤CB'<8;(2)①EB' = (0<t≤6);②当t为2时,△AEF是以AE为底的等腰三角形,CE=2.
【解析】
(1)①直接利用题意填写即可;②由题意得,AB=6,然后以点B'的运动轨迹确定CB'的取值范围.(2)①设AE=DE=x,过点D作DM⊥x轴于点M,再应用勾股定理结合题意即可解答;②若△AEF是以AE为底的等腰三角形,则∠AEF=∠EAF,利用全等三角形的相关知识解答即可.
解:(1)①t= 3 秒
②由题意知,AB=AB'=6
所以点B'的运动轨迹为以A为圆心以6为半径的圆
∴CB'的取值范围是 4≤CB'<8
(2)①如图:过点D作DM⊥x轴于点M,易证AE=DE 设AE=DE=x
在Rt△DME中 , DM2+ME2=DE2
∴ (x-t)2+62=x2
解得x=+.即DE=+
∴ EB' =+-t
=-+ (0<t≤6)
②若△AEF是以AE为底的等腰三角形,则∠AEF=∠EAF
易证△AOC≌△EMD
∴ AC=DE
+=10 解得t1=2,t2=18(舍去)
当t为2时,△AEF是以AE为底的等腰三角形
此时ME=OA=10,OE=2, CE=2.
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【题目】如图,某中学准备在校园里利用围墙的一段,再砌三面墙,围成一个矩形花园ABCD(围墙MN最长可利用25m),现在已备足可以砌50m长的墙的材料,试设计一种砌法,使矩形花园的面积为300m2.
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【题目】如图,直线l⊥线段AB于点B,点C在AB上,且AC=2CB,点M是直线l上的动点,作点B关于直线CM的对称点B’,直线AB’与直线CM相较于点P,联结PB.
(1)如图1,若点P与点M重合,则∠PAB=_____°,线段PA与PB的比值为______.
(2)如图2,若点P与点M不重合,设过P、B、C三点的圆与直线AP相交于点D,联结CD.
①求证:CD=CB’.
②求证:PA=2PB.
(3)如图③,AC=2,BC=1,则满足条件PA=2PB的点都在一个确定的圆上,在以下两小题中选做一题:
①如果你能发现这个确定圆的圆心和半径,那么不必写出发现过程,只要证明这个圆上的任意一点Q,都满足QA=2QB.
②如果你不能发现这个确定圆的圆心和半径,那么请取几个特殊位置的P点,如点P在直线AB上,点P与点M重合等进行探究,求这个圆的半径.
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【题目】如图1,等边△ABC的边长为3,分别以顶点B、A、C为圆心,BA长为半径作、、,我们把这三条弧所组成的图形称作莱洛三角形,显然莱洛三角形仍然是轴对称图形,设点l为对称轴的交点.
(1)如图2,将这个图形的顶点A与线段MN作无滑动的滚动,当它滚动一周后点A与端点N重合,则线段MN的长为 ;
(2)如图3,将这个图形的顶点A与等边△DEF的顶点D重合,且AB⊥DE,DE=2π,将它沿等边△DEF的边作无滑动的滚动当它第一次回到起始位置时,求这个图形在运动过程中所扫过的区域的面积;
(3)如图4,将这个图形的顶点B与⊙O的圆心O重合,⊙O的半径为3,将它沿⊙O的圆周作无滑动的滚动,当它第n次回到起始位置时,点I所经过的路径长为 (请用含n的式子表示)
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【题目】如图,正方形ABCD中,M为BC上一点,ME⊥AM,ME交AD的延长线于点E.
(1)求证:△ABM ∽△EMA;
(2)若AB=2,BM=1,求DE的长.
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【题目】我市创全国卫生城市,某街道积极响应,决定在街道内的所有小区安装垃圾分类的温馨提示牌和垃圾箱,若购买4个垃圾箱比购买5个温馨提示牌多350元,垃圾箱的单价是温馨提示牌单价的3倍.
求温馨提示牌和垃圾箱的单价各是多少元?
如果该街道需购买温馨提示牌和垃圾箱共3000个.
求购买温馨提示牌和垃圾箱所需费用元与温馨提示牌的个数x的函数关系式;
若该街道计划费用不超过35万元,而且垃圾箱的个数不少于温馨提示牌的个数的倍,求有几种可供选择的方案?并找出资金最少的方案,求出最少需多少元?
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【题目】为庆祝新中国成立70周年,河南省实验中学开展了以“我和我亲爱的祖国”为主题的“快闪”活动,九年级准备从两名男生和两名女生中选出两名同学领唱,如果每一位同学被选中的机会均等,则选出的恰为一位男生一位女生的概率是_____.
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【题目】如图,在平面直角坐标系中,已知点A(0,2),点P是x轴上一动点,将线段AP绕点A逆时针旋转90°,得到线段AQ,当点P从点(3,0)运动到点(1,0)时,点Q运动的路径长为____.
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【题目】如图,AB是⊙O的直径,EF,EB是⊙O的弦,且EF=EB,EF与AB交于点C,连接OF,若∠AOF=40°,则∠F的度数是( )
A.20°B.35°C.40°D.55°
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