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【题目】如图,在直角坐标系中,矩形OABC的边OAx轴上,OCy轴上,且B的坐标为(86),动点DB点出发,以1个单位长度每秒的速度向C点运动t秒(D不与BC重合),连接AD,将△ABD沿AD翻折至△AB'DB'在矩形的内部或边上),连接DB'DB'所在直线与AC交于点F,与OA所在直线交于点E

1)①当t 秒,B'F重合;

②求线段CB'的取值范围;

2)①求EB'的长度(用含t的代数式表示),并求出t的取值范围;

②当t为何值时,△AEF是以AE为底的等腰三角形?并求出此时EC的长度.

【答案】(1)①3;②4CB'<8;(2)①EB' (0<t6);②当t2时,△AEF是以AE为底的等腰三角形,CE2

【解析】

(1)①直接利用题意填写即可;②由题意得,AB=6,然后以点B'的运动轨迹确定CB'的取值范围.(2)①设AEDEx过点DDMx轴于点M再应用勾股定理结合题意即可解答;②若△AEF是以AE为底的等腰三角形,则AEFEAF利用全等三角形的相关知识解答即可.

解:(1)①t 3

②由题意知,ABAB'6

所以点B'的运动轨迹为以A为圆心以6为半径的圆

CB'的取值范围是 4CB'<8

2)①如图:过点DDMx轴于点M易证AEDE AEDEx

Rt△DME DM2ME2DE2

∴ (xt)262x2

解得x.即DE

EB't

=- (0<t6

②若△AEF是以AE为底的等腰三角形,则AEFEAF

易证AOCEMD

ACDE

10 解得t12t218(舍去)

t2时,△AEF是以AE为底的等腰三角形

此时MEOA10OE2, CE2

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①求证:CD=CB’.

②求证:PA=2PB.

(3)如图③,AC=2BC=1,则满足条件PA=2PB的点都在一个确定的圆上,在以下两小题中选做一题:

①如果你能发现这个确定圆的圆心和半径,那么不必写出发现过程,只要证明这个圆上的任意一点Q,都满足QA=2QB.

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(2)如图3,将这个图形的顶点A与等边DEF的顶点D重合,且ABDEDE=2π,将它沿等边DEF的边作无滑动的滚动当它第一次回到起始位置时,求这个图形在运动过程中所扫过的区域的面积;

(3)如图4,将这个图形的顶点BO的圆心O重合,O的半径为3,将它沿O的圆周作无滑动的滚动,当它第n次回到起始位置时,点I所经过的路径长为 (请用含n的式子表示)

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