【题目】如图,直线l⊥线段AB于点B,点C在AB上,且AC=2CB,点M是直线l上的动点,作点B关于直线CM的对称点B’,直线AB’与直线CM相较于点P,联结PB.
(1)如图1,若点P与点M重合,则∠PAB=_____°,线段PA与PB的比值为______.
(2)如图2,若点P与点M不重合,设过P、B、C三点的圆与直线AP相交于点D,联结CD.
①求证:CD=CB’.
②求证:PA=2PB.
(3)如图③,AC=2,BC=1,则满足条件PA=2PB的点都在一个确定的圆上,在以下两小题中选做一题:
①如果你能发现这个确定圆的圆心和半径,那么不必写出发现过程,只要证明这个圆上的任意一点Q,都满足QA=2QB.
②如果你不能发现这个确定圆的圆心和半径,那么请取几个特殊位置的P点,如点P在直线AB上,点P与点M重合等进行探究,求这个圆的半径.
【答案】(1)30,2;(2)①证明见解析;②证明见解析;(3)①证明见解析;②半径为2.
【解析】
(1)如图2,根据对称性质得△PBC沿PC翻折得到△PB′C,根据折叠性质得CB′=CB,∠PB′C=∠PBC=90°,由于AC:CB=2:1,则AC=2CB′,然后在Rt△AB′C中,利用正弦定义可计算出∠A=30°,再利用含30度的直角三角形三边的关系易得PA=2PB;
(2)①与(1)一样可得∠PB′C=∠PBC,再根据圆内接四边形的性质得∠CDB′=∠CBP,所以∠CDB′=∠CB′D,于是根据等腰三角形的判定得到CD=CB′;
②作B′E∥PC交AC于E,连结BB′交PC于F,利用对称性质得FB=FB′,PB=PB′,而CF∥B′E,则CF为△BEB′的中位线,所以BC=CE,加上AC=2BC,所以AE=EC,然后利用B′E∥PC,则AB′=PB′,所以PA=2PB′=2PB;
(3)选①进行证明,作B′E∥QC交AC于E,连结BB′交QC于F,与(2)中②的证明方法一样
解:(1) ∴△PBC沿PC翻折得到△PB′C,
∴CB′=CB,∠PB′C=∠PBC=90,
∵AC:CB=2:1,
∴AC=2CB′,
在Rt△AB′C中,sin∠A==
,
∴∠A=30°,
在Rt△PAB中,PA=2PB;
故答案为30°;2;
(2)证明:①沿PC翻折得到△PB′C,
∴∠PB′C=∠PBC,
∵∠CDB′=∠CBP,
∴∠CDB′=∠CB′D,
∴CD=CB′;
②令,则
∵AC=2CB
∴
∴PA=2PB’=2PB
(3)①如图,连接BB’交OC于点G,过点B’作B’F∥QC交AO于点F
∵AC=2BC
∵B、B’关于直线QC对称
∴F为AC的中点
∴BQ=B’Q
∵B’F∥QC
∵B’F∥QC
∴AQ=2B’Q
∴
∵BQ=B’Q
∴BC=CF
∴AQ=2BQ
②若点P在线段AB上,由PA=2PB知,点P与点C重合,点B与点B’重合,这个圆的半
径为2.
若点P在射线AB的延长线上,由PA=2PB知,点B’与点B重合,这个圆的半径为2.
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【题目】如图,已知正方形ABCD的边长为4,以点A为圆心,2为半径作圆,E是⊙A上的任意一点,将点E绕点D按逆时针方向转转90°得到点F,则线段AF的长的最小值____.
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【题目】对于函数有以下四个结论:①这是y关于x的反比例函数;②当x>0时,y的值随着x的增大而减小;③函数图象与y轴有且只有一个点;④函数图象关于点(﹣3,0)成中心对称.其中正确的是( )
A.①②B.③④C.①②③D.②③④
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【题目】如图,在半径为3的⊙O中,AB是直径,AC是弦,且AC=4.过点O作直径DE⊥AC,垂足为点P,过点B的直线交AC的延长线和DE的延长线于点F、G.
(1)求线段AP、CB的长;
(2)若OG=9,求证:FG是⊙O的切线.
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【题目】已知抛物线y=x2+ax+b与x轴交于点A(﹣1,0),B(3,0).
(1)求抛物线的解析式;
(2)过点D(0,)作x轴的平行线交抛物线于E,F两点,求EF的长;
(3)当时,直接写出x的取值范围是 .
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【题目】如图,在ABCD中,过点D作DE⊥AB于点E,点F在边CD上,CF=AE,连接AF,BF.
(1)求证:四边形BFDE是矩形;
(2)已知∠DAB=60°,AF是∠DAB的平分线,若AD=3,求DC的长度.
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【题目】如图,在直角坐标系中,矩形OABC的边OA在x轴上,OC在y轴上,且B的坐标为(8,6),动点D从B点出发,以1个单位长度每秒的速度向C点运动t秒(D不与B,C重合),连接AD,将△ABD沿AD翻折至△AB'D(B'在矩形的内部或边上),连接DB',DB'所在直线与AC交于点F,与OA所在直线交于点E.
(1)①当t= 秒,B'与F重合;
②求线段CB'的取值范围;
(2)①求EB'的长度(用含t的代数式表示),并求出t的取值范围;
②当t为何值时,△AEF是以AE为底的等腰三角形?并求出此时EC的长度.
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【题目】如图,已知菱形ABCD的边长为2,∠DAB=60°,E、F分别是AD、CD上的两个动点,且满足AE+CF=2.连接BD.
(1)图中有几对三角形全等?试选取一对全等的三角形给予证明;
(2)判断△BEF的形状,并说明理由.
(3)当△BEF的面积取得最小值时,试判断此时EF与BD的位置关系.
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