Question

【题目】如图，直线l⊥线段AB于点B，点C在AB上，且AC=2CB，点M是直线l上的动点，作点B关于直线CM的对称点B’，直线AB’与直线CM相较于点P，联结PB.

(1)如图1，若点P与点M重合，则∠PAB=_____°，线段PA与PB的比值为______.

(2)如图2，若点P与点M不重合，设过P、B、C三点的圆与直线AP相交于点D，联结CD.

①求证：CD=CB’.

②求证：PA=2PB.

(3)如图③，AC=2，BC=1，则满足条件PA=2PB的点都在一个确定的圆上，在以下两小题中选做一题：

①如果你能发现这个确定圆的圆心和半径，那么不必写出发现过程，只要证明这个圆上的任意一点Q，都满足QA=2QB.

②如果你不能发现这个确定圆的圆心和半径，那么请取几个特殊位置的P点，如点P在直线AB上，点P与点M重合等进行探究，求这个圆的半径.

Answer 1

【答案】(1)30，2；(2)①证明见解析；②证明见解析；(3)①证明见解析；②半径为2.

【解析】

（1）如图2，根据对称性质得△PBC沿PC翻折得到△PB′C，根据折叠性质得CB′=CB，∠PB′C=∠PBC=90°，由于AC：CB=2：1，则AC=2CB′，然后在Rt△AB′C中，利用正弦定义可计算出∠A=30°，再利用含30度的直角三角形三边的关系易得PA=2PB；

（2）①与（1）一样可得∠PB′C=∠PBC，再根据圆内接四边形的性质得∠CDB′=∠CBP，所以∠CDB′=∠CB′D，于是根据等腰三角形的判定得到CD=CB′；

②作B′E∥PC交AC于E，连结BB′交PC于F，利用对称性质得FB=FB′，PB=PB′，而CF∥B′E，则CF为△BEB′的中位线，所以BC=CE，加上AC=2BC，所以AE=EC，然后利用B′E∥PC，则AB′=PB′，所以PA=2PB′=2PB；

（3）选①进行证明，作B′E∥QC交AC于E，连结BB′交QC于F，与（2）中②的证明方法一样

解：(1) ∴△PBC沿PC翻折得到△PB′C，

∴CB′=CB,∠PB′C=∠PBC=90，

∵AC:CB=2:1，

∴AC=2CB′，

在Rt△AB′C中,sin∠A==，

∴∠A=30°，

在Rt△PAB中，PA=2PB；

故答案为30°；2；

(2)证明：①沿PC翻折得到△PB′C，

∴∠PB′C=∠PBC，

∵∠CDB′=∠CBP，

∴∠CDB′=∠CB′D，

∴CD=CB′；

②令，则

∵AC=2CB

∴

∴PA=2PB’=2PB

(3)①如图，连接BB’交OC于点G，过点B’作B’F∥QC交AO于点F

∵AC=2BC

∵B、B’关于直线QC对称

∴F为AC的中点

∴BQ=B’Q

∵B’F∥QC

∵B’F∥QC

∴AQ=2B’Q

∴

∵BQ=B’Q

∴BC=CF

∴AQ=2BQ

②若点P在线段AB上，由PA=2PB知，点P与点C重合，点B与点B’重合，这个圆的半

径为2.

若点P在射线AB的延长线上，由PA=2PB知，点B’与点B重合，这个圆的半径为2.