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【题目】如图,已知菱形ABCD的边长为2,∠DAB60°EF分别是ADCD上的两个动点,且满足AE+CF2.连接BD

1)图中有几对三角形全等?试选取一对全等的三角形给予证明;

2)判断BEF的形状,并说明理由.

3)当BEF的面积取得最小值时,试判断此时EFBD的位置关系.

【答案】1)△BAE≌△BDF,△BDE≌△BCF,△BAD≌△BCD,共三对;证明见解析;(2)△BEF为正三角形.理由见解析;(3)此时BD垂直平分EF

【解析】

1)可根据题意判断出△BAD≌△BCD(SSS)

BAE≌△BD(SAS)BDE≌△BCF(SAS),任选一组证明即可.

2)首先由(1)知△BDE≌△BCF,得到BEBF,再根据∠DBE=∠CB,DBC=∠DBF+CBF60,得到一个角为60°即可证明为等边三角形.

3)设BEBFEFx,SBEF,即面积根x值有关,当x最小,即BE垂直于AD时面积最小.

1)△BAE≌△BDF,△BDE≌△BCF,△BAD≌△BCD,共三对;

证明:△BDE≌△BCF

在△BDE和△BCF中,

故△BDE≌△BCF

2)△BEF为正三角形.

理由:∵△BDE≌△BCF

∴∠DBE=∠CBFBEBF

∵∠DBC=∠DBF+CBF60°,

∴∠DBF+DBE60°即∠EBF60°,

∴△BEF为等边三角形;

3)设BEBFEFx

SBEFxxsin60°=x2

BEAD时,x最小2×sin60°= ,此时△BEF的面积最小,

此时点EF别位于ADCD的中点,

故此时BD垂直平分EF

练习册系列答案
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(1)如图1,若点P与点M重合,则∠PAB=_____°,线段PAPB的比值为______.

(2)如图2,若点P与点M不重合,设过PBC三点的圆与直线AP相交于点D,联结CD.

①求证:CD=CB’.

②求证:PA=2PB.

(3)如图③,AC=2BC=1,则满足条件PA=2PB的点都在一个确定的圆上,在以下两小题中选做一题:

①如果你能发现这个确定圆的圆心和半径,那么不必写出发现过程,只要证明这个圆上的任意一点Q,都满足QA=2QB.

②如果你不能发现这个确定圆的圆心和半径,那么请取几个特殊位置的P点,如点P在直线AB上,点P与点M重合等进行探究,求这个圆的半径.

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1)①求证:四边形BFDE是菱形;②求∠EBF的度数.
2)把(1)中菱形BFDE进行分离研究,如图2GI分别在BFBE边上,且BG=BI,连接GDHGD的中点,连接FH,并延长FHED于点J,连接IJIHIFIG.试探究线段IHFH之间满足的数量关系,并说明理由;
3)把(1)中矩形ABCD进行特殊化探究,如图3,矩形ABCD满足AB=AD时,点E是对角线AC上一点,连接DE,作EFDE,垂足为点E,交AB于点F,连接DF,交AC于点G.请直接写出线段AGGEEC三者之间满足的数量关系.

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【题目】二次函数y=ax2+bx+ca≠0)的图象如图所示,根据图象解答下列问题:

1)写出方程ax2+bx+c=0的两个根;

2)写出yx的增大而减小的自变量x的取值范围;

3)若方程ax2+bx+c=k有两个不相等的实数根,求k的取值范围.

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A. ①③ B. ②③ C. ②③④ D. ②④

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