Question

【题目】如图，在平面直角坐标系中，已知点A（0，2），点P是x轴上一动点，将线段AP绕点A逆时针旋转90°，得到线段AQ，当点P从点（3，0）运动到点（1，0）时，点Q运动的路径长为____.

Answer 1

【答案】4

【解析】

设点P运动到原点时点Q的对应点是B，连接BQ，根据旋转的性质及同角的余角相等可得∠PAO=∠BAQ，利用SAS可证明△APO≌△AQB，可得∠ABQ=∠AOP=90°，可知点P运动过程中，∠ABQ是定值，即可确定点Q的运动轨迹是经过点B且与AB垂直的线段，设点P运动到点（1，0）时的对应点为P1，点Q的对应点为Q1，连接QQ1，利用SAS可证明△APP1≌△AQQ1，可得PP1=QQ1，根据P、P1的坐标求出PP1的长即可得答案.

如图，设点P运动到原点时点Q的对应点是B，

∵线AP绕点A逆时针旋转90°，得到AQ，AO绕点A逆时针旋转90°，得到AB，

∴∠PAQ=∠OAB=90°，AP=AQ，AO=AB，

∴∠PAO+∠OAQ=∠QAB+∠OAQ=90°，

∴∠PAO=∠QAB，

在△PAO和△QAB中，，

∴△PAO≌△QAB，

∴∠ABQ=∠AOP=90°，

∴点P运动过程中，∠ABQ=90°，是定值，

∴点Q的运动轨迹是经过点B且垂直于AB的线段，

如图，设点P运动到点（1，0）时的对应点为P1，点Q的对应点为Q1，连接QQ1，1

∴QQ1即是点Q运动的距离，

由旋转的性质得AP=AQ，AP1=AQ1，∠PAQ=∠P1AQ1=90°，

∴∠PAP1+∠P1AQ=∠P1AQ+∠QAQ1=90°，

∴∠PAP1=∠QAQ1，

在△APP1和△QAQ1中，，

∴△APP1≌△QAQ1，

∴PP1=QQ1，

∵点P从点（-3，0）运动到（1，0），

∴QQ1=PP1=1-（-3）=4

故答案为：4