【题目】如图1,等边△ABC的边长为3,分别以顶点B、A、C为圆心,BA长为半径作、、,我们把这三条弧所组成的图形称作莱洛三角形,显然莱洛三角形仍然是轴对称图形,设点l为对称轴的交点.
(1)如图2,将这个图形的顶点A与线段MN作无滑动的滚动,当它滚动一周后点A与端点N重合,则线段MN的长为 ;
(2)如图3,将这个图形的顶点A与等边△DEF的顶点D重合,且AB⊥DE,DE=2π,将它沿等边△DEF的边作无滑动的滚动当它第一次回到起始位置时,求这个图形在运动过程中所扫过的区域的面积;
(3)如图4,将这个图形的顶点B与⊙O的圆心O重合,⊙O的半径为3,将它沿⊙O的圆周作无滑动的滚动,当它第n次回到起始位置时,点I所经过的路径长为 (请用含n的式子表示)
【答案】(1)3π;(2)27π;(3)2nπ.
【解析】试题分析:(1)先求出的弧长,继而得出莱洛三角形的周长为3π,即可得出结论;
(2)先判断出莱洛三角形等边△DEF绕一周扫过的面积如图所示,利用矩形的面积和扇形的面积之和即可;
(3)先判断出莱洛三角形的一个顶点和O重合旋转一周点I的路径,再用圆的周长公式即可得出.
试题解析:解:(1)∵等边△ABC的边长为3,∴∠ABC=∠ACB=∠BAC=60°,,∴===π,∴线段MN的长为=3π.故答案为:3π;
(2)如图1.∵等边△DEF的边长为2π,等边△ABC的边长为3,∴S矩形AGHF=2π×3=6π,由题意知,AB⊥DE,AG⊥AF,∴∠BAG=120°,∴S扇形BAG==3π,∴图形在运动过程中所扫过的区域的面积为3(S矩形AGHF+S扇形BAG)=3(6π+3π)=27π;
(3)如图2,连接BI并延长交AC于D.∵I是△ABC的重心也是内心,∴∠DAI=30°,AD=AC=,∴OI=AI==,∴当它第1次回到起始位置时,点I所经过的路径是以O为圆心,OI为半径的圆周,∴当它第n次回到起始位置时,点I所经过的路径长为n2π=2nπ.故答案为:2nπ.
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【题目】按要求画图
(1)如图,平面上有五个点A,B,C,D,E. 按下列要求画出图形.
①连接BD;
②画直线AC交BD于点M;
③过点A作线段AP⊥BD于点P;
④请在直线AC上确定一点N,使B,E两点到点N的距离之和最小(保留作图痕迹).
(2)小强用5个大小一样的正方形制成如图所示的拼接图形(阴影部分),请你在图中的拼接图形上再接一个正方形,使新拼接成的图形经过折叠后能成为一个封闭的正方体盒子.注意:只需添加一个符合要求的正方形,并用阴影表示.
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【题目】如图,四边形ABCD的对角线交于点O,下列哪组条件不能判断四边形ABCD是平行四边形( ).
A. OA=OC,OB=OD B. ∠BAD=∠BCD,AB∥CD
C. AD∥BC,AD=BC D. AB=CD,AO=CO
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【题目】元旦放假时,小明一家三口一起乘小轿车去探望爷爷、奶奶和姥爷、姥姥.早上从家里出发,向东走了5千米到超市买东西,然后又向东走了2.5千米到爷爷家,下午从爷爷家出发向西走了10千米到姥爷家,晚上返回家里.
(1)若以小明家为原点,向东为正方向,用1个单位长度表示1千米,请将超市、爷爷家和姥爷家的位置在下面数轴上分别用点A、B、C表示出来;
(2)超市和姥爷家相距多少千米?
(3)若小轿车每千米耗油0.08升,求小明一家从出发到返回家,小轿车的耗油量.
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【题目】如图,已知正方形ABCD的边长为3,菱形EFGH的三个顶点E、G、H分别在正方形的边AB、CD、DA上,AH=1,联结CF.
(1)当DG=1时,求证:菱形EFGH为正方形;
(2)设DG=x,△FCG的面积为y,写出y关于x的函数解析式,并指出x的取值范围;
(3)当DG=时,求∠GHE的度数.
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【题目】如图,抛物线L:y=ax2+bx+c与x轴交于A、B(3,0)两点(A在B的左侧),与y轴交于点C(0,3),已知对称轴x=1.
(1)求抛物线L的解析式;
(2)将抛物线L向下平移h个单位长度,使平移后所得抛物线的顶点落在△OBC内(包括△OBC的边界),求h的取值范围;
(3)设点P是抛物线L上任一点,点Q在直线l:x=﹣3上,△PBQ能否成为以点P为直角顶点的等腰直角三角形?若能,求出符合条件的点P的坐标;若不能,请说明理由.
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【题目】 阅读下列材料:我们知道
现在我们可以用这个结论来化简含有绝对值的代数式,如化简代数式时,令,求得;令,求得(称-1,2分别为,的零点值).在有理数范围内,零点值-1和2可将全体有理数分成不重复且不遗漏的如下3种情况:
①当时,原式;
②当时,原式;
③当时,原式.
综上所述,
通过以上阅读,请你解决以下问:
(1)分别求出和的零点值;
(2)化简代数式.
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