Question

【题目】如图，已知正方形ABCD的边长为3，菱形EFGH的三个顶点E、G、H分别在正方形的边AB、CD、DA上，AH＝1，联结CF．

（1）当DG＝1时，求证：菱形EFGH为正方形；

（2）设DG＝x，△FCG的面积为y，写出y关于x的函数解析式，并指出x的取值范围；

（3）当DG＝时，求∠GHE的度数．

Answer 1

【答案】（1）详见解析；（2）（3）60°

【解析】

(1)先求出HG，再判断出△AHE≌△DGH，得出∠AHE=∠DGH，进而判断出∠GHE=90，即可得出结论；

(2)先判断出∠HEA=∠FGM，进而判断出△AHE≌△MFG.得出FM=HA=1，即可得出结论；

(3)利用勾股定理依次求出GH= ，AE= ，GE= ，进而判断出GH=HE=GE，即可得出结论

解：（1）在正方形ABCD中，

∵AH＝1，

∴DH＝2．

又∵DG＝1，

∴HG＝

在△AHE和△DGH中，

∵∠A＝∠D＝90°，AH＝DG＝1，EH＝HG＝，

∴△AHE≌△DGH，

∴∠AHE＝∠DGH．

∵∠DGH+∠DHG＝90°，∠AHE+∠DHG＝90°．

∴∠GHE＝90°

所以菱形EFGH是正方形；

（2）如图1，过点F作FM⊥DC交DC所在直线于M，联结GE．

∵AB∥CD，

∴∠AEG＝∠MGE．

∵HE∥GF，

∴∠HEG＝∠FGE．

∴∠HEA＝∠FGM，

在△AHE和△MFG中，

∵∠A＝∠M＝90°，EH＝GF．

∴△AHE≌△MFG．

∴FM＝HA＝1．

即无论菱形EFGH如何变化，点F到直线CD的距离始终为定值1，

∴y＝ GCFM＝（3﹣x）×1＝﹣x+（0≤x≤）；

（3）如图2，当DG＝时，

在Rt△HDG中，DH＝2，根据勾股定理得，GH＝；

∴HE＝GH＝ ，

在Rt△AEH中，根据勾股定理得，AE＝，

过点G作GN⊥AB于N，

∴EN＝AE﹣DG＝

在Rt△ENG中，根据勾股定理得，GE＝

∴GH＝HE＝GE，

∴△GHE为等边三角形．

∴∠GHE＝60°．