Question

【题目】如图，在平面直角坐标系中，点A（4，2），点B在第一象限，AB平行于x轴且AB=5.

(1)点B的坐标为_______.

(2)如图1，过点A作AC⊥x轴于C，在x轴上是否存在点D，使得△AOC与△BOD相似？

(3)如图2，将△AOB折叠，使得点A刚好落在O处，此时折痕交AB于点D，交AO于点E，在直线AO上有两个动点P，Q（点P在点Q的左侧），且线段PQ=，求四边形BDPQ的周长最小值.

Answer 1

【答案】（1）（1，2）；（2）存在，D（1，0）或（5，0）；（3）周长最小值为

【解析】

(1)由AB//x轴可得点B纵坐标，根据AB=5可求出得B横坐标，即可得到答案；（2）根据A、B两点坐标可求出OA、OB的长，根据勾股定理逆定理可得△AOB是直角三角形，∠AOB=90°，当点D在x轴负半轴时，∠BOD>90°，不能与Rt△AOC相似；当点D在x轴正半轴时，根据同角的余角相等可得∠CAO=∠DOB，分别讨论∠OBD=90°和∠ODB=90°两种情况，求出点D坐标即可；（3）由折叠性质可得DE⊥OA，OE=OA=，由OB⊥OA可得DE//BO，DE和OB是DP和BQ的最小值，由点E是OA中点DE是△AOB的中位线，可得BD=AB，DE=OB，进而求出四边形DEOB的周长即可得答案.

（1）∵AB//x轴，A（-4，2），

∴点B的纵坐标为2，

∵AB=5，

∴点B的横坐标为-4+5=1，

∴点B坐标为（1，2）.

故答案为：（1，2）

（2）∵A（-4，2），B（1，2），

∴OA=2，OB=，

∵AB2=25，OA2=20，OB2=5，

∴AB2=OA2+OB2，

∴△OAB是直角三角形，∠AOB=90°，

当点D在x轴负半轴时，∠BOD>90°，不能与Rt△AOC相似；

当点D在x轴正半轴时，

∵∠AOC+∠BOD=90°，∠AOC+∠CAO=90°，

∴∠CAO=∠DOB，

如图，当∠OBD2=90°时，

∵∠D2OB=∠CAO，∠OBD2=∠ACO=90°，

∴△OBD2∽△ACO，

∴，即，

∴OD2=5，

∴D2（5，0）.

当∠OD1B=90°时，

∵∠BOD1=∠CAO，∠OD1B=∠ACO=90°，

∴△BOD1∽△OAC，

∵∠OD1B=90°，B（1，2）

∴OD1=1，

∴D1（1，0）

综上所述：存在点D，使得△AOC与△BOD相似，点D坐标为（1，0）或（5，0）.

（3）∵将△AOB折叠，使得点A刚好落在O处，此时折痕交AB于点D，交AO于点E，

∴DE⊥OA，AE=OE=OA=

∵∠AOB=90°，

∴DE//OB，

∴AD=BD=AB=，

∴DE是△AOB的中位线，

∴DE=OB=，

∵DE⊥OA，OB⊥OA，OE=，

∴DE和BO即是DP和BQ的最小值，

∴四边形BDPQ的周长最小值为BD+DE+OE+OB=+++=.