【题目】如图1,在中,
,点
是
延长线上的一点,
,垂足为
,联结
.
(1)求证:
(2)当点是
中点时,求
的值;
(3)如图2,的延长线交
的平行线
于点
,求证:
【答案】(1)详见解析;(2);(3)详见解析.
【解析】
(1)根据题中已知条件易证∽
,根据相似三角形的性质可得
,这个式子可以转化为
,再根据
,可证明
∽
.
(2)在中利用勾股定理可得出
,因为
,可得出
,CD=8,可得
,在Rt△BCD中,根据勾股定理得BD=
,所以ED
,在Rt△EFD中,设EF=m,则DF=2m,根据勾股定理列出方程,解得m的值,可得EF=2,FD=4,所以F为CD中点,又EF⊥CD,可得EC=ED,∠ECD=∠D,所以得到
.
(3)根据可得
,推出
根据
,可得
即:
,再根据等角的余角相等可证出
即可得出
∽
.
(1)
∽
∽
;
(2)如图,过点E作EF⊥CD于点F
在中,
,
由勾股定理得:
∵在Rt△BCD中,BC=4,CD=8,
∴由勾股定理得:BD=,
∵E为BD中点,
∴ED=,
在Rt△EFD中,,
,
设EF=m,则DF=2m,
根据勾股定理可得:,
解得:m=2
∴EF=2,FD=4,
∵CD=8,
∴F为CD中点,
∴EC=ED,∠ECD=∠D
;
(3)
,
∽
∽
.
科目:初中数学 来源: 题型:
【题目】《国家学生体质健康标准》规定:体质测试成绩达到90.0分及以上的为优秀;达到80.0分至89.9分的为良好;达到60.0分至79.9分的为及格;59.9分及以下为不及格,某校为了了解九年级学生体质健康状况,从该校九年级学生中随机抽取了10%的学生进行体质测试,测试结果如下面的统计表和扇形统计图所示。
各等级学生平均分统计表
等级 | 优秀 | 良好 | 及格 | 不及格 |
平均分 | 92.1 | 85.0 | 69.2 | 41.3 |
各等级学生人数分布扇形统计图
(1)扇形统计图中“不及格”所占的百分比是 ;
(2)计算所抽取的学生的测试成绩的平均分;
(3)若所抽取的学生中所有不及格等级学生的总分恰好等于某一个良好等级学生的分数,请估计该九年级学生中约有多少人达到优秀等级。
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科目:初中数学 来源: 题型:
【题目】如图,在平面直角坐标系中,点A(4,2),点B在第一象限,AB平行于x轴且AB=5.
(1)点B的坐标为_______.
(2)如图1,过点A作AC⊥x轴于C,在x轴上是否存在点D,使得△AOC与△BOD相似?
(3)如图2,将△AOB折叠,使得点A刚好落在O处,此时折痕交AB于点D,交AO于点E,在直线AO上有两个动点P,Q(点P在点Q的左侧),且线段PQ=,求四边形BDPQ的周长最小值.
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科目:初中数学 来源: 题型:
【题目】如图,在平面直角坐标系中,矩形的边
在
轴上,
、
的长分别是一元二次方程
的两个根
,
,边
交
轴于点
,动点
以每秒
个单位长度的速度,从点
出发沿折线段
向点
运动,运动的时间为
秒,设
与矩形
重叠部分的面积为
.
(1)求点的坐标;
(2)求关于
的函数关系式,并写出自变量的取值范围;
(3)在点的运动过程中,是否存在
,使
为等腰三角形?若存在,直接写出点
的坐标;若不存在,请说明理由.
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科目:初中数学 来源: 题型:
【题目】如图,在平面直角坐标系中,把矩形沿对角线
所在的直线折叠,点
落在点
处,
与
轴相交于点
.矩形
的边
,
的长是关于
的一元二次方程
的两个根,且
.
(1)求线段,
的长;
(2)求证:,并求出线段
的长;
(3)直接写出点的坐标;
(4)若是直线
上一个动点,在坐标平面内是否存在点
,使以点
,
,
,
为顶点的四边形是菱形?若存在,请直接写出
点的坐标;若不存在,请说明理由.
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科目:初中数学 来源: 题型:
【题目】已知:如图,四边形ABCD的对角线AC和BD相交于点E,AD=DC,DC2=DEDB,求证:
(1)△BCE∽△ADE;
(2)ABBC=BDBE.
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