Question

【题目】已知点E、F分别是四边形ABCD边AB、AD上的点，且DE与CF相交于点G。

(1)如图①，若AB∥CD，AB=CD，∠A=90°，且AD·DF=AE·DC，求证：DE⊥CF；

(2)如图②，若AB∥CD，AB=CD，且∠A=∠EGC时，求证：DE·CD=CF·DA.

Answer 1

【答案】（1）见解析；（2）见解析

【解析】

（1）根据已知条件得到四边形ABCD是矩形，由矩形的性质得到∠A＝∠FDC＝90°，根据相似三角形的性质得到∠CFD＝∠AED，根据余角的性质即可得到结论；
（2）根据已知条件得到△DFG∽△DEA，推出，根据△CGD∽△CDF，得到，等量代换即可得到结论；

（1）证明：∵AB∥CD，AB＝CD，∠A＝90°，

∴四边形ABCD是矩形，

∴∠A＝∠FDC＝90°，

∵ADDF＝AEDC，

∴，

∴△AED∽△DFC，

∴∠CFD＝∠AED，

∵∠ADE+∠AED＝90°，

∴∠ADE+∠CFD＝90°，

∴∠DGF＝90°，

∴DE⊥CF；

（2）证明：∵∠A＝∠EGC，∠ADE＝∠GDF，

∴△DFG∽△DEA，

∴＝，

∵AB∥CD，AB＝CD，

∴四边形ABCD是平行四边形，∠AED＝∠EDC，

∴∠B＝∠ADC，

∵△DFG∽△DEA，

∴∠AED＝∠DFG，

∴∠DFC＝∠GDC，

∵∠DCG＝∠FCD，

∴△CGD∽△CDF，

∴＝，

∴＝，

∴DECD＝CFDA；