Question

【题目】平面直角坐标系xOy（如图），抛物线y=﹣x2+2mx+3m2（m＞0）与x轴交于点A、B（点A在点B左侧），与y轴交于点C，顶点为D，对称轴为直线l，过点C作直线l的垂线，垂足为点E，联结DC、BC．

（1）当点C（0，3）时，

①求这条抛物线的表达式和顶点坐标；

②求证：∠DCE=∠BCE；

（2）当CB平分∠DCO时，求m的值．

Answer 1

【答案】（1）y=﹣x2+2x+3；D（1，4）；（2）证明见解析；（3）m=；

【解析】

（1）①把C点坐标代入y=﹣x2+2mx+3m2可求出m的值，从而得到抛物线解析式，

然后把一般式配成顶点式得到D点坐标；

②如图1，先解方程﹣x2+2x+3=0得B（3，0），则可判断△OCB为等腰直角三角形得到∠

OBC=45°，再证明△CDE为等腰直角三角形得到∠DCE=45°，从而得到∠DCE=∠BCE；

（2）抛物线的对称轴交x轴于F点，交直线BC于G点，如图2，把一般式配成顶点式得

到抛物线的对称轴为直线x=m，顶点D的坐标为（m，4m2），通过解方程﹣x2+2mx+3m2=0

得B（3m，0），同时确定C（0，3m2），再利用相似比表示出GF=2m2，则DG=2m2，接着证

明∠DCG=∠DGC得到DC=DG，所以m2+（4m2﹣3m2）2=4m4，然后解方程可求出m．

（1）①把C（0，3）代入y=﹣x2+2mx+3m2得3m2=3，解得m1=1，m2=﹣1（舍去），

∴抛物线解析式为y=﹣x2+2x+3；

∵

∴顶点D为（1，4）；

②证明：如图1，当y=0时，﹣x2+2x+3=0，解得x1=﹣1，x2=3，则B（3，0），

∵OC=OB，

∴△OCB为等腰直角三角形，

∴∠OBC=45°，

∵CE⊥直线x=1，

∴∠BCE=45°，

∵DE=1，CE=1，

∴△CDE为等腰直角三角形，

∴∠DCE=45°，

∴∠DCE=∠BCE；

（2）解：抛物线的对称轴交x轴于F点，交直线BC于G点，如图2，

∴抛物线的对称轴为直线x=m，顶点D的坐标为（m，4m2），

当y=0时，﹣x2+2mx+3m2=0，解得x1=﹣m，x2=3m，则B（3m，0），

当x=0时，y=﹣x2+2mx+3m2=3m2，则C（0，3m2），

∵GF∥OC，

∴即 解得GF=2m2，

∴DG=4m2﹣2m2=2m2，

∵CB平分∠DCO，

∴∠DCB=∠OCB，

∵∠OCB=∠DGC，

∴∠DCG=∠DGC，

∴DC=DG，

即m2+（4m2﹣3m2）2=4m4，

∴

而m＞0，

∴