Question

【题目】如图，在菱形ABCD中，AB=BD，点E、F分别是AB、AD上任意的点（不与端点重合），且AE=DF，连接BF与DE相交于点G，连接CG与BD相交于点H．给出如下几个结论：

①∠ADE=∠DBF；②△DAE≌△BDG；③若AF=2DF，则BG=6GF；④CG与BD一定不垂直；⑤∠BGE=60°．其中正确的结论个数为（　　）

A. 5 B. 4 C. 3 D. 2

Answer 1

【答案】C

【解析】

①先证明△ABD为等边三角形，根据“SAS”证明△AED≌△DFB，利用全等三角形的性质解答即可；

②先证明△ABD为等边三角形，根据“SAS”证明△AED≌△DFB；

③过点F作FP∥AE于P点，根据题意有FP：AE=DF：DA=1：3，则FP：BE=1：6=FG：BG，即BG=6GF；

④因为点E、F分别是AB、AD上任意的点（不与端点重合），且AE=DF，当点E，F分别是AB，AD中点时，CG⊥BD；

⑤∠BGE=∠BDG+∠DBF=∠BDG+∠GDF=60°

①∵ABCD为菱形，∴AB=AD．

∵AB=BD，∴△ABD为等边三角形，∴∠A=∠BDF=60°．

又∵AE=DF，AD=BD，∴△AED≌△DFB，∴∠ADE=∠DBF，故本选项正确；

②∵ABCD为菱形，∴AB=AD．

∵AB=BD，∴△ABD为等边三角形，∴∠A=∠BDF=60°．

又∵AE=DF，AD=BD，∴△AED≌△DFB，故本选项错误；

③过点F作FP∥AE交DE于P点（如图2）．

∵AF=2FD，∴FP：AE=DF：DA=1：3．

∵AE=DF，AB=AD，∴BE=2AE，∴FP：BE=FP：2AE=1：6．

∵FP∥AE，∴PF∥BE，∴FG：BG=FP：BE=1：6，即BG=6GF，故本选项正确；

④当点E，F分别是AB，AD中点时（如图3），由（1）知，△ABD，△BDC为等边三角形．

∵点E，F分别是AB，AD中点，∴∠BDE=∠DBG=30°，∴DG=BG．在△GDC与△BGC中，∵，∴△GDC≌△BGC，∴∠DCG=∠BCG，∴CH⊥BD，即CG⊥BD，故本选项错误；

⑤∵∠BGE=∠BDG+∠DBF=∠BDG+∠GDF=60°，为定值，故本选项正确；

综上所述：正确的结论有①③⑤，共3个．

故选C．