Question

【题目】如图1，在中，，点为边上一点，连接BD，点为上一点，连接，，过点作，垂足为，交于点．

(1)求证：；

(2)如图2，若，点为的中点，求证：；

(3)在(2)的条件下，如图3，若，求线段的长．

Answer 1

【答案】（1）详见解析；（2）详见解析；（3）6

【解析】

（1）根据直角三角形的性质可得，，然后根据三角形的内角和和已知条件即可推出结论；

（2）根据直角三角形的性质和已知条件可得，进而可得，，然后即可根据AAS证明≌，可得，进一步即可证得结论；

（3）连接，过点作交延长线于点，连接，如图4．先根据已知条件、三角形的内角和定理和三角形的外角性质推出，进而可得，然后即可根据SAS证明△ABE≌△ACH，进一步即可推出，过点作于K，易证△AKD≌△CHD，可得，然后即可根据等腰三角形的性质推得DF=2EF，问题即得解决．

（1）证明：如图1，，，

，，，

，

，；

（2）证明：如图2，，，，

，，，

∵点为的中点，∴AD=CD，，

≌（AAS），，

，；

（3）解：连接，过点作交延长线于点，连接，如图4．

，，

设，则，

，，

，，，

，∴△ABE≌△ACH（SAS），

，，

过点作于K，，

，，

∴△AKD≌△CHD（AAS），，

∵，

，

，．