Question

【题目】如图，已知线段AB＝8，O为AB的中点，P是平面内的一个动点，在运动过程中保持OP＝2不变，连结BP，将PB绕点P逆时针旋转90°到PC，连结BC、AC，则线段AC长的最大值是_____．

Answer 1

【答案】

【解析】

以O为坐标原点建立坐标系，过点C作CD⊥y轴，垂足为D，过点P作PE⊥DC，垂足为E，延长EP交x轴于点F，设点P的坐标为（x，y），则x2+y2=4．然后证明△ECP≌△FPB，由全等三角形的性质得到EC=PF=y，FB=EP=4-x，从而得到点C（x+y，y+4-x），最后依据两点间的距离公式可求得AC的范围．

如图所示：过点C作CD⊥y轴，垂足为D，过点P作PE⊥DC，垂足为E，延长EP交x轴于点F．

∵AB＝8，O为AB的中点，

∴A（﹣4，0），B（4，0）．

设点P的坐标为（x，y），则x2+y2＝4．

∵∠EPC+∠BPF＝90°，∠EPC+∠ECP＝90°，

∴∠ECP＝∠FPB．

由旋转的性质可知：PC＝PB．

在△ECP和△FPB中

，

∴△ECP≌△FPB．

∴EC＝PF＝y，FB＝EP＝4﹣x．

∴C（x+y，y+4﹣x）．

∵AB＝8，O为AB的中点，

∴AC＝ ．

∵x2+y2＝4，

∴AC＝

∵﹣2≤y≤2

∴当y＝2时，AC最大值为

故答案为