Question

18．某同学将一块正方形铁皮剪去四个小正方形，做成一个无盖盒子，如图1所示．
（1）若剪下的四个小正方形的边长均为6cm，且无盖盒子的容积为3750cm³，则原正方形的边长为多少？
（2）为了制作一个有盖的盒子，他又设计了如图2的方案，为了使有盖盒子的高于容积和图1中无盖盒子的高与容积一样，则需要边长多大的正方形铁皮？

Answer 1

分析 （1）设正方形铁皮的边长应是x厘米，则做成没有盖的长方体盒子的长、宽为（x-6×2）厘米，高为6厘米，根据长方体的体积计算公式列方程解答即可；
（2）设需要边长为a厘米的正方形铁皮，有盖盒子长为（a-6×2）厘米，宽为$\frac{1}{2}$（a-6×2）厘米，高为6厘米，根据长方体的体积计算公式列方程解答即可．

解答 解：（1）设原正方形铁皮的边长应是x厘米，则没有盖的长方体盒子的长、宽为（x-6×2）厘米，高为6厘米，根据题意列方程得，
（x-6×2）（x-6×2）×6=3750，
解得：x₁=37，x₂=-13（不合题意，舍去）．
答：正方形铁皮的边长应是37厘米．
（2）设需要边长为a厘米的正方形铁皮，由题意得
$\frac{1}{2}$（a-6×2）（a-6×2）×6=3750
解得：a₁=25$\sqrt{2}$+12，a₂=12-25$\sqrt{2}$（不合题意，舍去）．
答：正方形铁皮的边长应是25$\sqrt{2}$+12厘米．

点评 本题考查了一元二次方程的应用，解题关键是要读懂题目的意思，根据题目给出的条件，找出合适的等量关系，列出方程，再求解．