Question

11．如图，二次函数y=ax²+bx+c的图象交x轴于A（x₁，0），B（x₂，0）（x₁＜x₂），交y轴于点C（0，3），其顶点M（1，4）．
（1）求二次函数的解析式；
（2）E为△BCM的外心，试在x轴上确定一点P，使△PCE的周长最短，求P点的坐标．

Answer 1

分析 （1）抛物线的顶点已知，可设成顶点式，然后把点C的坐标代入解析式即可；
（2）过点M作MH⊥y轴于H，如图，易得∠HCM=45°，然后求出点B的坐标，可求得∠OCB=45°，则有∠MCB=90°，即可得到点E是BM的中点，根据中点坐标公式可求出点E的坐标．由于CE是定值，要使△PCE的周长最短，只需PC+PE最短．作点C关于x轴的对称点C′，连接EC′，交x轴于点P，根据两点之间线段最短可知此时PC+PE=PC′+PE最短，过点E作EN⊥x轴于N，易得△OPC′∽△NPE，然后运用相似三角形的性质即可求出OP，就可得到点P的坐标．

解答 解：（1）设二次函数的解析式为y=a（x-1）²+4．
∵点C（0，3）在抛物线y=a（x-1）²+4上，
∴3=a（0-1）²+4，
解得a=-1．
∴二次函数的解析式为y=-（x-1）²+4；

（2）过点M作MH⊥y轴于H，如图，
则有MH=1，CH=OH-OC=1，
∴MH=CH，
∴∠HMC=∠HCM=45°．
当y=0时，0=-（x-1）²+4，
解得x₁=3，x₂=-1．
∴A（-1，0），B（3，0），
∴OB=OC=3．
∵∠BOC=90°，
∴∠OBC=∠OCB=45°，
∴∠MCB=180°-45°-45°=90°．
∵E为△BCM的外心，
∴点E是BM的中点，
∴点E的坐标为（$\frac{1+3}{2}$，$\frac{4+0}{2}$），即（2，2）．
作点C关于x轴的对称点C′，连接EC′，交x轴于点P，
则有OC′=0C=3．
根据两点之间线段最短可知：此时PC+PE=PC′+PE最短．
过点E作EN⊥x轴于N，则有ON=2，EN=2，EN∥OC′，
∴△OPC′∽△NPE，
∴$\frac{OP}{PN}$=$\frac{OC′}{NE}$，
∴$\frac{OP}{2-OP}$=$\frac{3}{2}$，
解得：OP=1.2，
∴点P的坐标为（1.2，0）．

点评 本题主要考查了运用待定系数法求抛物线的解析式、求抛物线与x轴的交点坐标、等腰直角三角形的性质、圆周角定理、中点坐标公式、两点之间线段最短、相似三角形的性质与判定等知识，有一定的综合性，把△PCE的周长最短转化为PC+PE最短是解决第（2）小题的关键．