Question

如图，在△ABC的一边AB上有一点P．
（1）能否在另外两边AC和BC上各找一点M、N，使得△PMN的周长最短？若能，请
画出点M、N的位置；若不能，请说明理由；
（2）若∠ACB=48°，在（1）的条件下，求出∠MPN的度数．

Answer 1

分析：（1）如图：作出点P关于AC、BC的对称点D、G，然后连接DG交AC、BC于两点，标注字母M、N；
（2）根据对称的性质，易求得∠C+∠EPF=180°，由∠ACB=48°，易求得∠D+∠G=48°，继而求得答案．

解答：解：（1）①作出点P关于AC、BC的对称点D、G，
②连接DG交AC、BC于两点，
③标注字母M、N；
           
（2）∵PD⊥AC，PG⊥BC，
∴∠PEC=∠PFC=90°，
∴∠C+∠EPF=180°，
∵∠C=48°，
∴∠EPF=132°，
∵∠D+∠G+∠EPF=180°，
∴∠D+∠G=48°，
由对称可知：∠G=∠GPN，∠D=∠DPM，
∴∠GPN+∠DPM=48°，
∴∠MPN=132°-48°=84°．

点评：此题考查了最短路径问题以及线段垂直平分线的性质．此题难度适中，注意掌握数形结合思想的应用．