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【题目】如图,AB是⊙O的直径,BC是⊙O的切线,切点为B,OC相交于点D,且CD=2,BC=4,
(1)求⊙O的半径;
(2)连接AD并延长,交BC于点E,取BE的中点F,连接DF,试判断DF与⊙O的位置关系,并说明理由.

【答案】
(1)解:设⊙O的半径为R,

∵BC是⊙O的切线,

∴∠OBC=90°,

∴OB2+BC2=OC2

即R2+42=(R+2)2

解得:R=3,

即⊙O的半径为3


(2)解:DF与⊙O相切;理由如下:

如图所示:连接BD,

∵OB=OD,

∴∠OBD=∠ODB,

∵AB是⊙O的直径,

∴∠ADB=90°,

∴∠BDE=90°,

∵F是BE的中点,

∴DF= BE=BF,

∴∠DBF=∠BDF,

∵∠DBF+∠OBD=90°,

∴∠BDF+∠ODB=90°,

∴DF⊥OD,

∴DF与⊙O相切.


【解析】(1)设⊙O的半径为R,由切线的性质得出∠OBC=90°,由勾股定理得出方程,解方程即可;(2)连接BD,由等腰三角形的性质得出∠OBD=∠ODB,由圆周角定理得出∠ADB=90°,求出∠BDE=90°,由直角三角形的性质得出DF= BE=BF,得出∠DBF=∠BDF,证出∠BDF+∠ODB=90°,即可得出结论.
【考点精析】解答此题的关键在于理解切线的性质定理的相关知识,掌握切线的性质:1、经过切点垂直于这条半径的直线是圆的切线2、经过切点垂直于切线的直线必经过圆心3、圆的切线垂直于经过切点的半径.

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