Question

【题目】如图，△ABC是直角三角形，∠ACB=90°，CD⊥AB于D，E是AC的中点，ED的延长线与CB的延长线交于点F．
（1）求证：FD2=FBFC；
（2）若G是BC的中点，连接GD，GD与EF垂直吗？并说明理由．

Answer 1

【答案】
（1）证明：∵E是Rt△ACD斜边中点．

∴DE=EA．

∴∠A=∠2．

∵∠1=∠2．

∴∠1=∠A．

∵∠FDC=∠CDB+∠1=90°+∠1，∠FBD=∠ACB+∠A=90°+∠A．

∴∠FDC=∠FBD．

∵∠F是公共角．

∴△FBD∽△FDC．

∴ ．

∴FD2=FBFC

（2）证明：GD⊥EF，

理由如下：

∵DG是Rt△CDB斜边上的中线，

∴DG=GC，

∴∠3=∠4，

由（1）得∠4=∠1，

∴∠3=∠1，

∵∠3+∠5=90°，

∴∠5+∠1=90°，

∴DG⊥EF．

【解析】（1）要求证：FD2=FBFC，只要证明△FBD∽△FDC，从而转化为证明∠FDC=∠FBD；（2）GD与EF垂直，要证DG⊥EF，只要证明∠5+∠1=90°，即转化为证明∠3=∠4即可．
【考点精析】掌握直角三角形斜边上的中线和相似三角形的判定与性质是解答本题的根本，需要知道直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半；相似三角形的一切对应线段(对应高、对应中线、对应角平分线、外接圆半径、内切圆半径等）的比等于相似比；相似三角形周长的比等于相似比；相似三角形面积的比等于相似比的平方．