Question

如图所示，在△ABC 中，AB=AC，以AB为直径的⊙O交AC于点E，交BC于点D，连结BE、AD交于点P。
求证：（1）D是BC的中点；
（2）△BEC∽△ADC ；
（3）AB·CE=2DP·AD。

Answer 1

证明：（1）∵AB 是直径     ∴∠ADB=90° 即AD⊥BC， 又∵AB=AC       ∴D 是BC 的中点； （2）在△BEC 与 △ADC中，           ∵∠C= ∠C，∠CAD= ∠CBE              ∴△BEC  ∽△ADC；    （3）∵△BEC  ∽△ADC     ∴             又∵D是BC的中点   ∴2BD=2CD=BC          ∴     则2BD2=AC·CE ①   在△BPD与△ABD中，             有∠BDP=∠BDA     又∵AB=AC，AD⊥BC ∴∠CAD= ∠BAD                又∵∠CAD= ∠CBE       ∴∠DBP= ∠DAB            ∴△BPD ∽△ABD                          ∴   则 BD2=PD·AD②             ∴由①，②得：AC·CE=2BD2=2PD·AD           ∴AB·CE=2DP·AD