Question

如图，抛物线y=ax²-3ax+b经过A（-1，0），C（3，-2）两点，与y轴交于点D，与x轴交于另一点B．
（1）求此抛物线的解析式；
（2）利用配方法求此抛物线的顶点式；
（3）若直线y=kx+1（k≠0）将四边形ABCD面积二等分，求k的值．

Answer 1

解：（1）将A（-1，0），C（3，-2）代入抛物线y=ax²-3ax+b中，得：
，解得
故抛物线的解析式：y=x²-x-2．

（2）由（1）知：y=x²-x-2=（x²-3x+）-×-2=（x-）²-．

（3）由图知，A、B以及C、D关于抛物线对称轴对称，则四边形ADCB是等腰梯形，且B（4，0）、D（0，-2）；
直线y=kx+1过（0，1），若该直线能将四边形ADCB的面积二等分，则该直线必过梯形的上下底；
取等腰梯形ADCB的上、下底的中点E、F，取线段EF的中点G，如右图；
则E（，-2）、F（，0）、G（，-1）；
∵AB∥CD，
∴∠FNG=∠EMG，
又∵∠FGN=∠EGM，且FG=GE，
∴△FGN≌△EGM，即S_△FNG=S_△EMG；
易知，S_梯形AFED=S_梯形BFEC，则：S_{四边形ANMD}=S_{四边形BNMC}
因此，若直线y=kx+1将四边形ADCB的面积二等分，那么该直线必过点G，有：
k+1=-1，
解得：k=-．
分析：（1）将A、B两点的坐标代入抛物线y=ax²-3ax+b中，通过解方程组即可求出待定系数的值．
（2）将（1）的抛物线解析式配方成y=a（x-k）²+b的形式即可．
（3）直线y=kx+1必过（0，1）点，由图可以看出若该直线平分四边形ADCB的面积，那么必须经过线段AB和CD；而点A、B和点D、C分别关于抛物线对称轴对称，那么四边形ADCB必为等腰梯形，抛物线对称轴正好可以将等腰梯形ADCB二等分（设抛物线与梯形上、下底的交点分别为E、F，设线段EF的中点为G），所以直线y=kx+1必须经过点G（此时该直线与梯形上下底、抛物线对称轴构建的两个三角形正好全等）才能使得四边形ADCB的面积二等分，所以先求出G点的坐标再代入直线的解析式中即可解出k的值．
点评：此题主要考查了二次函数解析式的确定以及等腰梯形面积等分线的问题；最后一题的难度较大，找出直线必过的一个定点是解答题目的关键所在．