Question

反比例函数y=

k

x

的图象经过A（m-1，m+1）、B（2m-1，

m

2

）两点，直线AO交双曲线于另一点C．D为x轴上一动点，过A点作直线AE⊥CD于E，交y轴于F点，连接FD．在D点运动过程中，试判断以线段AF，CD，DF的长为边的三角形的形状，并说明理由．

Answer 1

考点：反比例函数综合题

专题：

分析：首先利用待定系数法求得A、B的坐标，点D的坐标是（m，0），求得直线AE的解析式，即可求得F的坐标，然后表示出AF²、CD²、DF²的长，利用勾股定理的逆定理判断．

解答：解：根据题意得：（m-1）（m+1）=（2m-1）•

m

2

=k，
解得：m=2，k=3，
则A的坐标是（1，3），B的坐标是（3，1）．
设D的坐标是（m，0），
则CD²=（m+1）2+3²=m²+2m+10，
设直线CD的解析式是：y=kx+b，
根据题意得：

mk+b=0 -k+b=-3

，
解得：k=

3

m+1

，
∵AE⊥CD，
∴设直线AE的解析式是：y=-

m+1

3

x+c，
把（1，3）代入解析式，得：c=

m+10

3

，
则直线AE的解析式是：y=-

m+1

3

+

m+10

3

，
令x=0，解得y=

m+10

3

，即F的坐标是（0，

m+10

3

）．
则AF²=1+（

m+10

3

-3）²=

m2+20m+100

9

-2m-10，
DF²=m²+（

m+10

3

）2=m²+

m2+20m+100

9

．
又∵CD²=m²+2m+10，
∴CD²+AF²=DF²．
∴以线段AF，CD，DF的长为边的三角形是以DF为斜边的直角三角形．

点评：本题考查了待定系数法求反比例函数的解析式，以及两点之间距离公式的求法，以及两直线垂直的条件，利用m表示出F的坐标是关键．