Question

18．已知实数a，b，c满足条件$\frac{a}{（b-c）^{2}}$+$\frac{b}{（c-a）^{2}}$+$\frac{c}{（a-b）^{2}}$=0．求代数式$\frac{a}{b-c}$+$\frac{b}{c-a}$+$\frac{c}{a-b}$的值．

Answer 1

分析 先根据等式性质，得出[$\frac{a}{（b-c）^{2}}$+$\frac{b}{（c-a）^{2}}$+$\frac{c}{（a-b）^{2}}$]+$\frac{{a}^{2}-{a}^{2}+{b}^{2}-{b}^{2}+{c}^{2}-{c}^{2}}{（a-b）（b-c）（c-a）}$=0，再将添加的部分进行拆分，并约分化简，即可得到[$\frac{a}{（b-c）^{2}}$+$\frac{b}{（c-a）^{2}}$+$\frac{c}{（a-b）^{2}}$]+$\frac{a+b}{（b-c）（c-a）}$+$\frac{b+c}{（c-a）（a-b）}$+$\frac{c+a}{（a-b）（b-c）}$=0，左边因式分解即可得到[$\frac{a}{b-c}$+$\frac{b}{c-a}$+$\frac{c}{a-b}$][$\frac{1}{b-c}$+$\frac{1}{c-a}$+$\frac{1}{a-b}$]=0，进而得出$\frac{a}{b-c}$+$\frac{b}{c-a}$+$\frac{c}{a-b}$=0．

解答 解：∵$\frac{a}{（b-c）^{2}}$+$\frac{b}{（c-a）^{2}}$+$\frac{c}{（a-b）^{2}}$=0，
∴[$\frac{a}{（b-c）^{2}}$+$\frac{b}{（c-a）^{2}}$+$\frac{c}{（a-b）^{2}}$]+$\frac{{a}^{2}-{a}^{2}+{b}^{2}-{b}^{2}+{c}^{2}-{c}^{2}}{（a-b）（b-c）（c-a）}$=0，
∴[$\frac{a}{（b-c）^{2}}$+$\frac{b}{（c-a）^{2}}$+$\frac{c}{（a-b）^{2}}$]+$\frac{{a}^{2}-{b}^{2}}{（a-b）（b-c）（c-a）}$+$\frac{{b}^{2}-{c}^{2}}{（a-b）（b-c）（c-a）}$+$\frac{{c}^{2}-{a}^{2}}{（a-b）（b-c）（c-a）}$=0，
∴[$\frac{a}{（b-c）^{2}}$+$\frac{b}{（c-a）^{2}}$+$\frac{c}{（a-b）^{2}}$]+$\frac{a+b}{（b-c）（c-a）}$+$\frac{b+c}{（c-a）（a-b）}$+$\frac{c+a}{（a-b）（b-c）}$=0，
∴[$\frac{a}{b-c}$+$\frac{b}{c-a}$+$\frac{c}{a-b}$][$\frac{1}{b-c}$+$\frac{1}{c-a}$+$\frac{1}{a-b}$]=0，
∴[$\frac{a}{b-c}$+$\frac{b}{c-a}$+$\frac{c}{a-b}$]•$\frac{ac+bc+ab-{a}^{2}-{b}^{2}-{c}^{2}}{（a-b）（b-c）（c-a）}$=0，
又∵ac+bc+ab-a²-b²-c²=-$\frac{1}{2}$[（a-c）²+（b-c）²+（a-b）²]≠0，
∴$\frac{ac+bc+ab-{a}^{2}-{b}^{2}-{c}^{2}}{（a-b）（b-c）（c-a）}$≠0，
∴$\frac{a}{b-c}$+$\frac{b}{c-a}$+$\frac{c}{a-b}$=0．

点评 本题主要考查了分式的化简求值，解决问题的关键是配方法的运用，在化简的过程中要注意运算顺序，化简的最后结果分子、分母要进行约分，结果要化成最简分式或整式．