Question

已知用圆心角为120°，面积为3π的扇形卷成一个无底圆锥形筒．
（1）求这个圆锥形筒的高；
（2）一只蚂蚁要从圆锥底面圆周上一点B出发，沿圆锥侧面爬到过母线AB的轴截面上另一母线AC的中点D，问蚂蚁沿怎样的路线爬行，使路程最短？最短路程是多少？

Answer 1

考点：平面展开-最短路径问题,圆锥的计算

专题：

分析：（1）利用扇形的面积公式可求出扇形的半径，进而求出扇形所在弧的长度圆锥的底面周长，所以底面圆的半径可求，再利用勾股定理即可求出这个圆锥形筒的高；
（2）利用弧长公式即可求得侧面展开图的圆心角，再利用等腰三角形的性质求得相应线段即可．

解答：解：（1）∵3π=

120πR2

360

，
∴R=3，
即母线l=3 
∵3π=

1

2

lR，
∴l=2π，
∴2πr=2π，
∴底面半径r=1，
高h=

32-12

=2

2

；

（2）由题意可知：∠DAC=120°÷2=60°，
根据勾股定理求得：AD=

3

2

，CD=

3 3

2

，
所以蚂蚁爬行的最短距离为BD=CD=

3 3

2

．

点评：此题主要考查了圆锥侧面展开图以及最短路径求法，求立体图形中两点之间的最短路线长，一般应放在平面内，利用直角三角形求两点之间的线段的长度．用到的知识点为：圆锥的弧长等于底面周长．