Question

如图，经过原点O的抛物线y=ax²-4ax交x轴于点A，顶点B在正比例函数y=2x的图象上．
（1）求抛物线的解析式；
（2）在抛物线上取点P，使得点B关于直线OP对称的对称点B′刚好在x轴上，求点P的坐标；
（3）若点M在直线OB上，点N在x轴上，求PM+MN+PN的最小值．

Answer 1

考点：二次函数综合题

专题：压轴题

分析：（1）把已知函数解析式转化为顶点式，然后根据顶点式解析式来求a的值；
（2）先根据轴对称的性质得到OB=OB′，则点B′的坐标可求，再由中点坐标公式得到BB′的中点C的坐标，运用待定系数法求出直线OC的解析式，与抛物线的解析式联立，即可求出点P的坐标；
（3）作点P关于OB的对称点P′，关于x轴的对称点P″，连接P′P″，交OB于M，交x轴于N，则PM+MN+PN的最小值为线段P′P″的长度，分别求出P′、P″的坐标，运用两点间的距离公式即可求解．

解答：解：（1）∵y=ax²-4ax=a（x-2）²-4a，
∴抛物线y=ax²-4ax的对称轴为：直线x=2，
当x=2时，y=2x=4，
∴顶点B的坐标为：（2，4），
∴-4a=4，
解得：a=-1，
∴抛物线的解析式为：y=-x²+4x；

（2）在抛物线上取点P，使得点B关于直线OP对称的对称点B′刚好在x轴上，设BB′与OP交于点C，则C为BB′的中点．
∵B（2，4），
∴OB=

22+42

=2

5

，
∴OB′=OB=2

5

，
∴点B′的坐标为：（2

5

，0），
∴点C（

2+2 5

2

，

4

2

），即C（1+

5

，2），
则易求直线OC的解析式为：y=

5 -1

2

x．
由

y=-x2+4x y= 5 -1 2 x

，解得

x= 9- 5 2 y= -7+5 5 2

，

x=0 y=0

（不合题意舍去），
∴点P的坐标为（

9- 5

2

，

-7+5 5

2

）；

（3）作点P关于OB的对称点P′，关于x轴的对称点P″，连接P′P″，交OB于M，交x轴于N，连接PM，PN，
此时PM+MN+PN=P′M+MN+P″N=P′P″，值最小．
∵直线OB的解析式为y=2x，PP′⊥OB，
∴设直线PP′的解析式为y=-

1

2

x+b，
∵P的坐标为（

9- 5

2

，

-7+5 5

2

），
∴-

1

2

×

9- 5

2

+b=

-7+5 5

2

，
解得b=1+2

5

，
∴直线PP′的解析式为y=-

1

2

x+1+2

5

．
 由

y=2x y=- 1 2 x+1+2 5

，解得

x= 2+4 5 5 y= 4+8 5 5

，
即PP′中点坐标为（

2+4 5

5

，

4+8 5

5

），
∴P′点坐标为（

21 5 -37

10

，

51+7 5

10

），
∵P关于x轴的对称点P″的坐标为（

9- 5

2

，

7-5 5

2

），
∴P′P″=

( 9- 5 2 - 21 5 -37 10 )2+( 7-5 5 2 - 51+7 5 10 )2

=

3870-810 5

5

．
即PM+MN+PN的最小值为

3870-810 5

5

．

点评：本题是二次函数综合题，考查了运用待定系数法求二次函数、一次函数的解析式，轴对称的性质，中点坐标公式，两函数交点坐标的求法等知识，综合性较强，有一定难度．运用数形结合、方程思想是解题的关键．