Question

【题目】数学活动课上，老师出示了一个问题：

如图，△ABC≌△DEF（点A、B分别与点D、E对应），AB＝AC．现将△ABC与△DEF按如图所示的方式叠放在一起，现将△ABC保持不动, △DEF运动，且满足点E在BC边从B向C移动（不与B、C重合），DE始终经过点A，EF与AC边交于点M．求证：△ABE∽△ECM．

（1）请解答老师提出的问题．

（2）受此问题的启发，小明将△DEF绕点E按逆时针旋转， DE、EF分别交线段AB、AC边于点N、M，连接MN，如图2，当EB=EC时，小明猜想△NEM与△ECM相似．小明的猜想正确吗？请你作出判断，并说明理由.

（3）在（2）的条件下，以E为圆心，作⊙E，使得AB与⊙E相切，请在图3中画出⊙E，并判断直线MN与⊙E的位置关系，说明理由．

Answer 1

【答案】（1）证明见解析；（2）小明是猜想是正确的，即△NEM∽△ECM；（3）直线MN与⊙E的位置关系是相切．

【解析】

（1）证明：由如图1，△ABC≌△DEF（点A、B分别与点D、E对应），AB＝AC，

得∠ABE=∠ECM，又∠AEC=∠ABE+∠BAE=∠AEC+∠CEM,

所以∠BAE=∠CEM,所以△ABE∽△ECM．

(2)小明是猜想是正确的，即△NEM∽△ECM

理由如下：同（1）可证得，△NBE∽△ECM，所以∠BNE=∠CEM,

又BE=CE，所以

又∠C=∠NEM

所以△NEM∽△ECM

（3）直线MN与⊙E的位置关系是相切．

理由如下：由（2）知，∠BNE=∠CEM,∠ENM=∠CEM,

所以∠BNE=∠ENM.

过E点做EH⊥MN于H，⊙E 与AB切于G点，由于E点在∠BNM 的平分线上，EH=GE,所以点H在⊙E上，所以MN是⊙E的切线，直线MN与⊙E的位置关系是相切．