Question

16．在平面直角坐标系中，已知点A的坐标为（m，3），且m＞4，射线OA与反比例函数$y=\frac{12}{x}$在第一象限内的图象交于点P，过点A作AB∥x轴，AC∥y轴，分别与该函数图象交于点B和点C．
（1）设点B的坐标为（a，b），则a=4，b=3；
（2）如图1，连结BO，当BO=AB时，求点P的坐标；
（3）如图2，连结BP、CP，试证明：无论m（m＞4）取何值，都有S_△PAB=S_△PAC．

Answer 1

分析 （1）由点A的坐标为（m，3），AB∥x轴，可求得b的值，又由点B在反比例函数$y=\frac{12}{x}$的图象上，继而求得a的值；
（2）由（1）可求得OB的值，又由BO=AB，即可求得点A的坐标，然后求得直线OA的解析式，再联立直线OA与反比例函数$y=\frac{12}{x}$，即可求得答案；
（3）法一：首先过点P 作PE⊥AB于点E，作PF⊥AC于点F．然后由点A的坐标为（m，3），求得直线OA的解析式，再设P的坐标为（t，$\frac{12}{t}$），即可用t表示出m，继而求得△PAB与△PAC的面积，证得结论；
法二：过点B作BD⊥x轴，交OA于点D，连结CD．首先证得四边形ABDC是矩形，继而证得结论．

解答 解：（1）∵点A的坐标为（m，3），AB∥x轴，
∴b=3，
∵B在反比例函数$y=\frac{12}{x}$的图象上，
∴ab=12，
∴a=4；
故答案为：4，3；

（2）由（1），得：B（4，3）．
∴OB=$\sqrt{{3^2}+{4^2}}$=5，
∵AB=OB，
即m-4=5，解得m=9，
∴A（9，3），
设直线AO的解析式为y=kx（k≠0），
把A（9，3）代入y=kx，
得k=$\frac{1}{3}$，
∴直线AO的解析式为：y=$\frac{1}{3}$x；
∵点P是双曲线和直线的交点，
∴$\left\{\begin{array}{l}y=\frac{1}{3}x\\ y=\frac{12}{x}\end{array}\right.$，
解得：$\left\{\begin{array}{l}x=6\\ y=2\end{array}\right.$，或$\left\{\begin{array}{l}x=-6\\ y=-2\end{array}\right.$（不合题意，舍去），
∴P（6，2）．

（3）解法一：如图2，过点P 作PE⊥AB于点E，作PF⊥AC于点F．
∵A（m，3），
∴直线AO的解析式为：y=$\frac{3}{m}$x，
设P的坐标为（t，$\frac{12}{t}$），
代入直线OA：y=$\frac{3}{m}$x中，
可得：$m=\frac{t^2}{4}$，
∴A（m，3）、B（4，3）、C（m，$\frac{12}{m}$）、P（t，$\frac{12}{t}$），
∵m＞4，
∴S_△PAB=$\frac{1}{2}AB•PE$=$\frac{1}{2}$（m-4）（$3-\frac{12}{t}$）=$\frac{3}{2}（m-\frac{4m}{t}-4+\frac{16}{t}）=\frac{3}{2}（\frac{t^2}{4}-t-4+\frac{16}{t}）$，
S_△PAC=$\frac{1}{2}AC•PF$=$\frac{1}{2}$（$3-\frac{12}{m}$）（m-t）=$\frac{3}{2}（m-t-4+\frac{4t}{m}）=\frac{3}{2}（\frac{t^2}{4}-t-4+\frac{16}{t}）$，
∴S_△PAB=S_△PAC．

解法二：如图3，过点B作BD⊥x轴，交OA于点D，连结CD．
由A（m，3），易得直线OA的解析式为y=$\frac{3}{m}$x，
∵B（4，3），BD⊥x轴，
∴点D的坐标为（4，$\frac{12}{m}$），
∵AC∥y轴，
∴点C的坐标为（m，$\frac{12}{m}$），
∵点D的纵坐标与点C的纵坐标相同，
∴CD∥x轴，
∵AB∥x轴，
∴CD∥AB，
∵AC∥y轴，DB∥y轴，
∴BD∥AC，
∴四边形ABDC是平行四边形，
∵AB⊥AC，
∴四边形ABDC是矩形，
∴点B、C到矩形对角线AD的距离相等，
∴△PAB与△PAC是同底等高的两个三角形，
∴S_△PAB=S_△PAC．

点评 此题属于反比例函数综合题．考查了待定系数求函数解析式的知识、一次函数与反比例函数的交点问题以及矩形的判定与性质．注意准确作出辅助线是解此题的关键．