Question

如图，AB是半圆O的直径，C为半圆上一点，N是线段CB延长线上一点，过N作AB的垂线交AB于M，交AC的延长线于E，F是EN的中点．
（1）求证：CF是半圆的切线；
（2）若BC=BN=4，CF=5，求半⊙O的直径．

Answer 1

解：（1）证明：连接OC，
∵AB是半圆O的直径，
∴∠ACB=90°，
∴∠NCE=90°，
∵F是EN的中点，
∴CF=NF=EF=EN，
∴∠FCN=∠N，
∵MN⊥AB，
∴∠NMB=90°，
∴∠2+∠N=90°，
∵OC=OB，
∴∠1=∠3，
∵∠1=∠2，
∴∠2=∠3，
∴∠3+∠N=90°，
∴∠3+∠FCN=90°，
∴OC⊥CF，
∴CF是半圆的切线；

（2）∵BC=BN=4，CF=5，
∴CN=8，EN=2CF=10，
∵∠NMB=∠ACB=∠NCE=90°，
∴∠2=∠E，EC==6，
∴△ABC∽△NEC，
∴，
即，
∴AB=，
∴半⊙O的直径为．
分析：（1）首先连接OC，由AB是半圆O的直径，根据直径所对的圆周角是直角，即可得∠ACB=90°，又由F是EN的中点，根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，即可得CF=FN，又由MN⊥AB，即可证得∠OCF=90°，即可得CF是半圆的切线；
（2）首先利用有两角对应相等的三角形相似，证得△ABC∽△NEC，然后利用相似三角形的对应边成比例，即可求得半⊙O的直径．
点评：此题考查了圆的切线的判定，直角三角形的性质，等腰三角形的判定与性质以及圆周角的性质等知识．此题综合性较强，难度较大，解题的关键是注意数形结合思想的应用，注意辅助线的作法．