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    精英家教网 > 初中数学 > 题目详情
    如图，已知二次函数y=ax2+bx+c的图象经过三点A（-1，0），B（3，0），C（0，3），它的顶点为M，又正比例函数y=kx的图象与二次函数相交于两点D、E，且P是线段DE的中点．
    （1）求该二次函数的解析式，并求函数顶点M的坐标；
    （2）已知点E（2，3），且二次函数的函数值大于正比例函数值时，试根据函数图象求出符合条件的自变量x的取值范围；
    （3）当k为何值时且0＜k＜2，求四边形PCMB的面积为
    93
    16
    ．
    （参考公式：已知两点D（x1，y1），E（x2，y2），则线段DE的中点坐标为(
    x1+x2
    2
    ，
    y1+y2
    2
    )    ）
    分析：（1）已知二次函数y=ax2+bx+c的图象经过三点A（-1，0），B（3，0），C（0，3），可求二次函数解析式，并确定顶点坐标；
    （2）把E（2，3）代入y=kx中得正比例函数解析式，联立正比例函数解析式和抛物线解析式，可得D点坐标，根据图象求出符合条件的x的范围；
    （3）求直线与抛物线的交点D，E的坐标，根据中点坐标公式求出P点坐标，利用割补法表示四边形PCMB的面积，进而得出四边形PCMB的面积为
    93
    16
    时，k的值．
    解答：解：（1）由y=ax2+bx+c，则得：
    a-b+c=0
    9a+3b+c=0
    c=3
    ，
    解得：
    a=-1
    b=2
    c=3
    ，
    故函数解析式为：y=-x2+2x+3=-（x-1） 2+4，
    得出点M（1，4）．

    （2）由点E（2，3）在正比例函数y=kx的图象上得：
    3=2k，
    k=
    3
    2
    ，故y=
    3
    2
    x，
    由
    y=
    3
    2
    x
    y=-x2+2x+3
    ，
    解得；
    x=-
    3
    2
    y=-
    9
    4
    ，
    故D点坐标为：（-
    3
    2
    ，-
    9
    4
    ），
    由图象可知，当二次函数的函数值大于正比例函数时，自变量x的取值范围是-
    3
    2
    ＜x＜2．

    （3）
    y=kx
    y=-x 2+2x+3
    ，
    解得：点D，E坐标为D（
    2-k-
    		k2-4k+16
    2
    ，
    2-k-
    		k2-4k+16
    2
    •k），
    E（
    2-k+
    		k2-4k+16
    2
    ，
    2-k+
    		k2-4k+16
    2
    •k），
    则点P坐标为P（
    2-k
    2
    ，
    2-k
    2
    •k）由0＜k＜2，知点P在第一象限，
    由点B（3，0），C（0，3），M（1，4），
    得S四边形POMB=
    1×(3+4)
    2
    +
    1
    2
    ×2×4=
    15
    2
    ，
    则S四边形PCMB=
    15
    2
    -S△OPC-S△OPB=
    15
    2
    -
    1
    2
    ×3×
    2-k
    2
    -
    1
    2
    ×3×
    2-k
    2
    •k，
    整理得出：S四边形PCMB=
    3
    4
    （k-
    1
    2
    ）2+
    93
    16
    ，
    要求当k为何值时且0＜k＜2，四边形PCMB的面积为
    93
    16
    ，
    得出
    93
    16
    =
    3
    4
    （k-
    1
    2
    ）2+
    93
    16
    ，
    即0=
    3
    4
    （k-
    1
    2
    ）2，
    故当k=
    1
    2
    时，四边形PCMB的面积为
    93
    16
    ．
    点评：本题考查了二次函数解析式的求法以及四边形面积运算，学会用两个函数交点横坐标表示两个函数值的大小关系，并对二次函数进行运用是解题重点．
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    如图，已知二次函数图象的顶点坐标为C（1，1），直线y=kx+m的图象与该二次函数的图象交于A、B两点，其中A点坐标为（
    5
    2
    ，
    13
    4
    ），B点在y轴上，直线与x轴的交点为F，P为线段AB上的一个动点（点P与A、B不重合），过P作x轴的垂线与这个二次函数的图象交于E点．
    （1）求k，m的值及这个二次函数的解析式；
    （2）设线段PE的长为h，点P的横坐标为x，求h与x之间的函数关系式，并写出自变量x的取值范围；
    （3）D为直线AB与这个二次函数图象对称轴的交点，在线段AB上是否存在点P，使得以点P、E、D为顶点的精英家教网三角形与△BOF相似？若存在，请求出P点的坐标；若不存在，请说明理由．

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    科目：初中数学 来源： 题型：

    如图，已知二次函数y=ax2+bx+3（a≠0）的图象与x轴交于点A（-1，0）和点B（3，0）两点（点A在点B的左边），与y轴交于点C．
    （1）求此二次函数的解析式，并写出它的对称轴；
    （2）若直线l：y=kx（k＞0）与线段BC交于点D（不与点B，C重合），则是否存在这样的直线l，使得以B，O，D为顶点的三角形与△BAC相似？若存在，求出点D的坐标；若不存在，请说明理由；
    （3）若直线l′：y=m与该抛物线交于M、N两点，且以MN为直径的圆与x轴相切，求该圆半径的长度．
    精英家教网

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    科目：初中数学 来源： 题型：

    精英家教网如图，已知二次函数图象的顶点坐标为C（1，0），直线y=x+b与该二次函数的图象交于A、B两点，其中点A的坐标为（3，4），点B在y轴上．点P为线段AB上的一个动点（点P与A、B不重合），过点P作x轴的垂线与该二次函数的图象交于点E．
    （1）求b的值及这个二次函数的关系式；
    （2）设线段PE的长为h，点P的横坐标为x，求h与x之间的函数关系式，并写出自变量x的取值范围；
    （3）若点D为直线AB与该二次函数的图象对称轴的交点，则四边形DCEP能否构成平行四边形？如果能，请求出此时P点的坐标；如果不能，请说明理由．
    （4）以PE为直径的圆能否与y轴相切？如果能，请求出点P的坐标；如果不能，请说明理由．

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    科目：初中数学 来源： 题型：

    精英家教网如图，已知二次函数y=ax2-4x+c的图象与坐标轴交于点A（-1，0）和点C（0，-5）．
    （1）求该二次函数的解析式和它与x轴的另一个交点B的坐标．
    （2）在上面所求二次函数的对称轴上存在一点P（2，-2），连接OP，找出x轴上所有点M的坐标，使得△OPM是等腰三角形．

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    科目：初中数学 来源： 题型：

    （2012•衡水一模）如图，已知二次函数y=-
    12
    x2+bx+c    的图象经过A（2，0）、B（0，-6）两点．
    （1）求这个二次函数的解析式；
    （2）设该二次函数图象的对称轴与x轴交于点C，连接BA、BC，求△ABC的面积；
    （3）若抛物线的顶点为D，在y轴上是否存在一点P，使得△PAD的周长最小？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．

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