Question

25、如图，点C、D在线段AB上，△PCD是等边三角形．
（1）当AC、CD、DB满足怎样的关系时，△ACP∽△PDB；
（2）当△ACP∽△PDB时，求∠APB的度数．

Answer 1

分析：（1）利用△ACP∽△PDB的对应边成比例和等边三角形的性质可以找到AC、CD、DB的关系；
（2）利用相似三角形的性质对应角相等和等边三角形的性质可以求出∠APB的度数．

解答：解：（1）当CD²=AC•DB时，△ACP∽△PDB
∵△PCD是等边三角形
∴∠PCD=∠PDC=60°
∴∠ACP=∠PDB=120°
若CD²=AC•DB，则根据相似三角形的判定定理得△ACP∽△PDB

（2）当△ACP∽△PDB时，∠APC=∠PBD
∵∠PDB=120°
∴∠DPB+∠DBP=60°
∴∠APC+∠BPD=60°
∴∠APB=∠CPD+∠APC+∠BPD=120°

点评：此题是开放性试题，要熟练运用相似三角形的性质和等边三角形的性质．