Question

如图，BD、CE是△ABC的两条高，连接DE．
（1）求证：①

AE

AC

=

AD

AB

，②△AED∽△ACB；
（2）猜想△DOE与△COB能相似吗？请说明理由．

Answer 1

考点：相似三角形的判定与性质

专题：

分析：（1）由条件可证明△ADB∽△AEC，则可得到

AE

AD

=

AC

AB

，且∠EAD=∠CAB，证得结论；
（2）由（1）可得∠ACE=∠ABD，可证明△BOE∽△COD，则有

OE

OD

=

OB

OC

，结合对顶角可证明△DOE∽△COB．

解答：（1）证明：①∵BD⊥AC，CE⊥AB，
∴∠AEC=∠ADB=90°，且∠EAC=∠BAD，
∴△ADB∽△AEC，
∴

AE

AD

=

AC

AB

，即

AE

AC

=

AD

AB

，
②∵

AE

AC

=

AD

AB

，且∠EAD=∠CAB，
∴△AED∽△ACB；
（2）解：相似，理由如下：
∵BD⊥AC，CE⊥AB，
∴∠CDO=∠BEO=90°，且∠DOC=∠EOB，
∴△BOE∽△COD，
∴

OE

OD

=

OB

OC

，即

OE

OB

=

OD

OC

，且∠DOE=∠COB，
∴△DOE∽△COB．

点评：本题主要考查相似三角形的判定和性质，掌握相似三角形的对应边成比例是解题的关键．