Question

如图，定义：若双曲线y=

k

x

（k＞0）与它的其中一条对称轴y=x相交于A、B两点，则线段AB的长度为双曲线y=

k

x

（k＞0）的对径．
（1）求双曲线y=

1

x

的对径．
（2）若双曲线y=

m

x

（m＞0）的对径是10

2

，求m的值．
（3）仿照上述定义，定义双曲线y=

k

x

（k＜0）的对径，并直接写出y=-

3

x

的对径．

Answer 1

考点：反比例函数与一次函数的交点问题

专题：新定义

分析：过A点作AC⊥x轴于C，
（1）先解方程组

y= 1 x y=x

，可得到A点坐标为（1，1），B点坐标为（-1，-1），即OC=AC=1，则△OAC为等腰直角三角形，得到OA=

2

OC=

2

，则AB=2OA=2

2

，于是得到双曲线y=

1

x

的对径；
（2）根据双曲线的对径的定义得到当双曲线的对径为10

2

，即AB=10

2

，OA=5

2

，根据OA=

2

OC=

2

AC，则OC=AC=5，得到点A坐标为（5，5），把A（5，5）代入双曲线y=

k

x

（k＞0）即可得到k的值；
（3）双曲线y=

k

x

（k＜0）的一条对称轴与双曲线有两个交点，根据题目中的定义易得到双曲线y=

k

x

（k＜0）的对径；解方程组

y=- 3 x y=-x

，可得到A点坐标为（-

3

，

3

），B点坐标为（

3

，-

3

），即OC=AC=

3

，则△OAC为等腰直角三角形，得到OA=

2

OC=

6

，则AB=2OA=2

6

，于是得到双曲线y=-

3

x

的对径为2

6

．

解答：解：过A点作AC⊥x轴于C，如图，
（1）解方程组

y= 1 x y=x

，得

x1=1 y1=1

，

x2=-1 y2=-1

，
∴A点坐标为（1，1），B点坐标为（-1，-1），
∴OC=AC=1，
∴OA=

2

OC=

2

，
∴AB=2OA=2

2

，
∴双曲线y=

1

x

的对径是2

2

；

（2）∵双曲线y=

m

x

（m＞0）的对径为10

2

，即AB=10

2

，OA=5

2

，
∴OA=

2

OC=

2

AC，
∴OC=AC=5，
∴点A坐标为（5，5），
把A（5，5）代入双曲线y=

k

x

（k＞0）得k=5×5=25，
即k的值为25；

（3）若双曲线y=

k

x

（k＜0）与它的其中一条对称轴y=-x相交于A、B两点，则线段AB的长称为双曲线y=

k

x

（k＜0）的对径．
y=-

3

x

的对径为2

6

．

点评：本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题，反比例函数图象上点的坐标特征，点在反比例函数图象上，点的横纵坐标满足其解析式；等腰直角三角形的斜边是直角边的

2

倍，难度适中．准确理解双曲线对径的定义是解题的关键．