Question

已知抛物线过三点A（-1，0），B（4，0），C（0，-2）．
（1）求直线BC及抛物线的解析式；
（2）在BC下方求一点P，使S_△BCP最大，若S_△PCQ=S_△BCP，求抛物线上点Q的坐标；
（3）在抛物线上求点M，直线BC上求点N，使O、B、M、N为顶点的四边形为平行四边形．

Answer 1

考点：二次函数综合题

专题：压轴题

分析：（1）设直线BC的解析式为y=kx+b，利用待定系数法求一次函数解析式解答；设抛物线解析式为y=a（x+1）（x-4），把点C的坐标代入求出a的值，即可得解；
（2）设过点P与y轴平行的直线与BC相交于点D，表示出PD，然后表示出S_△BCP，再根据二次函数的最值问题解答；求出直线PC的解析式，再根据等底等高的三角形的面积相等可得点Q在过点B与PC平行直线上，然后联立直线BQ的解析式与抛物线解析式求解即可．
（3）根据平行四边形对边平行且相等，设点M的横坐标为x，表示出点N的横坐标，再根据直线和抛物线的解析式利用点M、N的纵坐标相等分两种情况列方程求解即可．

解答：解：（1）设直线BC的解析式为y=kx+b，
则

4k+b=0 b=-2

，
解得

k= 1 2 b=-2

，
所以直线BC的解析式为y=

1

2

x-2；
设抛物线解析式为y=a（x+1）（x-4），
将点C（0，-2）代入得，-4a=-2，
解得a=

1

2

，
所以，y=

1

2

（x+1）（x-4）=

1

2

x²-

3

2

x-2，
即抛物线解析式为y=

1

2

x²-

3

2

x-2；

（2）设过点P与y轴平行的直线与BC相交于点D，
则PD=（

1

2

x-2）-（

1

2

x²-

3

2

x-2）=-

1

2

x²+2x，
S_△BCP=

1

2

（-

1

2

x²+2x）×4=-x²+4x=-（x-2）²+4，
所以，当x=2时，S_△BCP有最大值4；
此时，y=

1

2

×2²-

3

2

×2-2=2-3-2=-3，
∴点P的坐标为（2，-3）；
设直线PC的解析式为y=mx+n，
则

2m+n=-3 n=-2

，
解得

m=- 1 2 n=-2

，
所以，y=-

1

2

x-2，
∵S_△PCQ=S_△BCP，
∴BQ∥PC，
设BQ的解析式为y=-

1

2

x+b，
则-

1

2

×4+b=0，
解得b=2，
所以，y=-

1

2

+2，
联立

y=- 1 2 x+2 y= 1 2 x2- 3 2 x-2

，
解得

x1=4 y1=0

，

x2=-2 y2=3

，
∴点Q的坐标为（-2，3）；

（3）∵OB=4，以O、B、M、N为顶点的四边形为平行四边形，
∴MN=OB=4，且MN∥OB，
设点M的横坐标为x，
当点N在点M的右边时，点N的横坐标为x+4，
∴

1

2

x²-

3

2

x-2=

1

2

（x+4）-2，
整理得，x²-4x-4=0，
解得x₁=2-2

2

，x₂=2+2

2

，
当x=2-2

2

时，y=

1

2

（2-2

2

+1）（2-2

2

-4）=

2

-1，
此时，点M的坐标为（2-2

2

，

2

-1），
当x=2+2

2

时，y=

1

2

（2+2

2

+1）（2+2

2

-4）=

2

+1，
此时，点M的坐标为（2+2

2

，

2

+1）；
点N在点M的左边时，点N的横坐标为x-4，
∴

1

2

x²-

3

2

x-2=

1

2

（x-4）-2，
整理得，x²-4x+4=0，
解得x₁=x₂=2，
当x=2时，y=

1

2

（2+1）（2-4）=-3，
此时，点M的坐标为（2，-3），
综上所述，点M的坐标为（2-2

2

，

2

-1）或（2+2

2

，

2

+1）或（2，-3）时，以O、B、M、N为顶点的四边形为平行四边形．

点评：本题是二次函数综合题型，主要利用了主要利用了待定系数法求二次函数解析式，待定系数法求一次函数解析式，等底等高的三角形的面积相等的性质，平行四边形的性质，难点在于（3）利用点M的横坐标表示出点N的横坐标并分情况讨论．