Question

已知关于x的方程（x-1）（x-3）=m²，求证：无论m取何值时方程总有两个不相等的实数根；a，b是此方程的两根且a²+b²=12，求m的值．

Answer 1

考点：根与系数的关系,根的判别式

专题：

分析：整理后求出△的值，根据求出的结果判断即可；根据根与系数的关系得出a+b=4，ab=3-m²，把a²+b²=12变形后代入求出即可．

解答：证明：（x-1）（x-3）=m²，
整理得：x²-4x+3-m²=0，
△=（-4）²-4×1×（3-m²）=4m²+4，
∵不论m为何值，4m²+4＞0，
∴△＞0，
即无论m取何值时方程总有两个不相等的实数根；
∵a，b是方程（x-1）（x-3）=m²的两根，
∴a+b=4，ab=3-m²，
∵a²+b²=12，
∴（a+b）²-2ab=12，
∴4²-2（3-m²）=12，
解得：m=±1．

点评：本题考查了根的判别式和根与系数的关系的应用，能正确运用根的判别式和根与系数的关系进行推理和计算是解此题的关键．