Question

如图（1），在平面直角坐标系中，AB⊥x轴于B，AC⊥y轴于C，点C（0，m），A（n，m），且（m-4）²+n²-8n=-16，过C点作∠ECF分别交线段AB、OB于E、F两点．
（1）求A点的坐标；
（2）若OF+BE=AB，求证：CF=CE；
（3）如图（2），若∠ECF=45°，求证：OF+AE=EF．

Answer 1

考点：全等三角形的判定与性质,坐标与图形性质

专题：

分析：（1）根据（m-4）²+n²-8n=-16即可求得m、n的值，即可求得A点坐标；
（2）根据勾股定理可以分别求得CF，CE的长，即可解题；
（3）将△ACE顺时针旋转90°，则FG=AE+OF，CG=CE，即可证明△GCF≌△ECF，可得FG=EF，即可解题．

解答：解：（1）点A坐标满足，（m-4）²+n²-8n=-16，
整理得：（m-4）²+（n-4）²=0，
∴m=n=4，
∴点A坐标（4，4）；
（2）∵OF+BE=AB，AE+BE=AB，
∴OF=AE，
∵CE=

AC2+AE2

，CF=

OF2+OC2

，AC=CO，
∴CF=CE；
（3）将△ACE顺时针旋转90°，则FG=AE+OF，CG=CE，

∵∠ECF=45°，
∴∠OCF+∠ACE=45°，∴∠GCF=45°，
在△GCF和△ECF中，

CE=CG ∠ECF=∠GCF=45° CF=CF

，
∴△GCF≌△ECF（SAS），
∴FG=EF，
∵FG=AE+OF，
∴EF=AE+OF．

点评：本题考查了全等三角形的判定，考查了全等三角形对应边相等的性质，本题中求证△GCF≌△ECF是解题的关键．