Question

3．如图，已知∠BDC+∠EFC=180°，∠DEF=∠B．
（1）求证：∠AED=∠ACB；
（2）若D、E、F分别是AB、AC、CD边上的中点，S_{四边形ADFE}=9，求S_△ABC．

Answer 1

分析 （1）由BDC+∠EFC=180°和∠EFC+∠DFE=180°得到∠BDC=∠DFE，根据平行线的判定得AB∥EF，则∠ADE=∠DEF，而∠DEF=∠B，所以∠ADE=∠B，于是可判断DE∥BC，然后根据平行线的性质得到∠AED=∠ACB；
（2）由E为AC的中点，根据三角形面积公式得到S_△ADE=S_△CDE=$\frac{1}{2}$S_△ADC，再由F为DC的中点得S_△DEF=S_△CEF=$\frac{1}{2}$S_△DEC，而S_{四边形ADFE}=9，则S_△ADE+$\frac{1}{2}$S_△EDC=9，可计算出S_△ADE=6，则S_△ADC=12，然后利用D为AB的中点，根据S_△ABC=2S_△ADC进行计算即可．

解答 （1）证明：∵∠BDC+∠EFC=180°（已知），
而∠EFC+∠DFE=180°（邻补角的定义），
∴∠BDC=∠DFE（等角的补角相等），
∴AB∥EF（内错角相等，两直线平行），
∴∠ADE=∠DEF（两直线平行，内错角相等），
∵∠DEF=∠B（已知），
∴∠ADE=∠B（等量代换），
∴DE∥BC（同位角相等，两直线平行），
∴∠AED=∠ACB（两直线平行，同位角相等）；

（2）解：∵E为AC的中点，
∴S_△ADE=S_△CDE=$\frac{1}{2}$S_△ADC，
∵F为DC的中点，
∴S_△DEF=S_△CEF=$\frac{1}{2}$S_△DEC，
∵S_{四边形ADFE}=9，
∴S_△ADE+$\frac{1}{2}$S_△EDC=9，
∴$\frac{3}{2}$S_△ADE=9，
∴S_△ADE=6，
∴S_△ADC=2×6=12，
∵D为AB的中点，
∴S_△ABC=2S_△ADC=2×12=24．

点评 本题考查了行线的判定与性质：平行线的判定是由角的数量关系判断两直线的位置关系．平行线的性质是由平行关系来寻找角的数量关系；应用平行线的判定和性质定理时，一定要弄清题设和结论，切莫混淆．也考查了三角形面积公式．