Question

【题目】已知在边长为4的菱形ABCD中，∠EBF=∠A=60°，

（1）如图①，当点E、F分别在线段AD、DC上，

①判断△EBF的形状，并说明理由；

②若四边形ABFD的面积为7，求DE的长；

（2）如图②，当点E、F分别在线段AD、DC的延长线上，BE与DC交于点O，设△BOF的面积为S1，△EOD的面积为S2，则S1-S2的值是否为定值，如果是，请求出定值：如果不是，请说明理由．

Answer 1

【答案】（1）①△EBF是等边三角形，见解析；②DE=1；（2）S1-S2的值是定值，S1-S2=4．

【解析】

（1）①△EBF是等边三角形．连接BD，证明△ABE≌△DBF（ASA）即可解决问题．

②如图1中，作BH⊥AD于H．求出△ABE的面积，利用三角形的面积公式求出AE即可解决问题．

（2）如图2中，结论：S1-S2的值是定值．想办法证明：S1-S2=S△BCD即可．

解：（1）①△EBF是等边三角形．理由如下：

如图1中，连接BD，

∵四边形ABCD是菱形，

∴AD=AB，

∵∠ADB=60°，

∴△ADB是等边三角形，△BDC是等边三角形，

∴AB=BD，∠ABD=∠A=∠BDC=60°，

∵∠ABD=∠EBF=60°，

∴∠ABE=∠DBF，

在△ABE和△DBF中，，

∴△ABE≌△DBF（ASA），

∴BE=BF，

∵∠EBF=60°，

∴△EBF是等边三角形．

②如图1中，作BH⊥AD于H．

在Rt△ABH中，BH=2，

∴S△ABD=ADBH=4，

∵S四边形ABFD=7，

∴S△BDF=S△ABE=3，

∴=3，

∴AE=3，

∴DE=AD=AE=1．

（2）如图2中，结论：S1-S2的值是定值．

理由：∵△BDC，△EBF都是等边三角形，

∴BD=BC，∠DBC=∠EBF=60°，BE=BF，

∴∠DBE=∠CBF，

∴△DBE≌△CBF（SAS），

∴S△BDE=S△BCF，

∴S1-S2=S△BDE+S△BOC-S△DOE=S△DOE+S△BOD+S△BOC-S△DOE=S△BCD=×42=4．

故S1-S2的值是定值．