Question

5．如图，C为线段BD上一动点，分别过点B，D作AB⊥BD，DE⊥BD，连结AC，CE．
（1）已知AB=3，DE=2，BD=12，设CD=x．用含x的代数式表示AC+CE的长；
（2）请问点C满足什么条件时，AC+CE的值最小？并求出它的最小值；
（3）根据（2）中的规律和结论，请构图求出代数式$\sqrt{{x}^{2}+4}$+$\sqrt{（8-x）^{2}+16}$的最小值．

Answer 1

分析 （1）由于△ABC和△CDE都是直角三角形，故AC，CE可由勾股定理求得；
（2）若点C不在AE的连线上，根据三角形中任意两边之和＞第三边知，AC+CE＞AE，故当A、C、E三点共线时，AC+CE的值最小；
（3）由（1）（2）的结果可作BD=8，过点B作AB⊥BD，过点D作ED⊥BD，使AB=4，ED=2，连接AE交BD于点C，然后构造矩形AFDB，Rt△AFE，利用矩形和直角三角形的性质可知AE的值就是代数式 $\sqrt{{x}^{2}+4}+\sqrt{（8-x）^{2}+16}$的最小值．

解答 解：（1）在Rt△ABC中，AC+CE=$\sqrt{A{B}^{2}+B{C}^{2}}$+$\sqrt{C{D}^{2}+D{E}^{2}}$=$\sqrt{（12-x）^{2}+9}+\sqrt{{x}^{2}+4}$；
（2）如图1所示：C是AE和BD交点时，AC+CE的值最小，过点B作AB⊥BD，过点D作ED⊥BD．

在Rt△AEF中，由勾股定理得：AE=$\sqrt{A{F}^{2}+E{F}^{2}}$=$\sqrt{{12}^{2}+{5}^{2}}$=13．
（3）如图2所示，过点B作AB⊥BD，过点D作ED⊥BD，使AB=4，ED=2，DB=8，连接AE交BD于点C．

∵AE=AC+CE=$\sqrt{{x}^{2}+4}+\sqrt{（8-x）^{2}+16}$，
∴AE的长即为代数式$\sqrt{{x}^{2}+4}+\sqrt{（8-x）^{2}+16}$的最小值．
过点A作AF∥BD交ED的延长线于点F，得矩形ABDF，则AB=DF=4，AF=BD=8．
在Rt△AEF中，由勾股定理得：AE=$\sqrt{A{F}^{2}+E{F}^{2}}$=$\sqrt{{8}^{2}+{6}^{2}}$=10．

点评 本题主要考查最短路线问题，利用了数形结合的思想，构造出符合题意的直角三角形是解题的关键．