Question

为改善我市的空气质量，某公司投入2000万元购得某种环保产品的生产技术和设备，已知生产这种产品每件还需成本费40元．经过市场调研发现：当销售单价定位100元时，年销售量为20万件，若销售单价每增加10元，年销售量将减少0.8万件．设销售单价为x元，年销售量为y（万件），年获利为w（万元）．（年获利=年销售额-生产成本-投资成本）
（1）直接写出y与x的函数关系式；
（2）求第一年的年获利w与x的函数关系式，并说明投产的第一年该公司是盈利还是亏损？若盈利，最大利润是多少？若亏损，最少亏损是多少？
（3）若该公司希望到第二年底，俩年的总盈利达到1842万元（第一年按最大利润或最少亏损统计），且使产品销售量最大，则销售单价应定为多少元？

Answer 1

考点：二次函数的应用

专题：

分析：（1）根据已知若销售单价每增加10元，年销售量将减少0.8万件，得出y与x的函数关系；
（2）利用年获利=年销售额-生产成本-投资成本得出w与x的函数关系，进而求出最值即可；
（3）根据题意可得第二年至少要盈利1842+78=1920（万元），金额求出x的取值范围，利用函数增减性得出答案．

解答：解：（1）由题意可得：y=20-

x-100

10

×0.8=-0.08x+28；

（2）∵w=xy-40y-2000，
=（x-40）（-0.08x+28）-2000，
=-0.08x²+31.2x-3120，
=-0.08（x-195）²-78＜0，
∴可见第一年该公司注定亏损，当x=195时亏损最少，为78万元；

（3）两年的总盈利不低于1842万元，可见第二年至少要盈利1842+78=1920（万元），
∵两年一块算，第二年就不用算投资成本那2000万元了，
∴第二年盈利=xy-40y=-0.08（x-195）²+1922≥1920，
解得：190≤x≤200，
∵y=-0.08x+28，
∴随着x的增大而减小，
∴当x=190时销量最大，y_最大=-0.08×190+28=12.8（万件），
∴定价190元时候，销售量最大．

点评：此题主要考查了二次函数的应用以及最值求法，得出w与x的函数关系是解题关键．