Question

已知抛物线y=﹣x²+mx过点（8，0），
（1）求m的值；
（2）如图a，在抛物线内作矩形ABCD，使点C、D落在抛物线上，点A、B落在x轴上，设矩形ABCD的周长为L，求L的最大值；
（3）如图b，抛物线的顶点为E，对称轴与直线y=﹣x+1交于点F．将直线EF向右平移n个单位后（n>0），交直线y=﹣x+1于点M，交抛物线于点N，若以E、F、M、N为顶点的四边形是平行四边形，求n的值．

Answer 1

解：（1）∵抛物线y=﹣x²+mx过点（8，0），
∴0=﹣×64+8m，
∴m=4；
（2）抛物线y=﹣x²+4x=﹣（x﹣4）²+8，
设A点横坐标为m，则AB=8﹣2m，D（m，﹣m²+4m），
∴矩形ABCD的周长=2（AD+AB）
=2（8﹣2m﹣m²+4m）
=﹣（m﹣2）²+20，
∵a=﹣1<0，
∴当m=2，矩形ABCD的周长的最大值为20；
（3）直线EF向右平移n个单位（n>0），使得E、F、M、N为顶点的四边形是平行四边形，
直线MN的解析式为x=4+n，
直线MN与直线y=﹣x+1交于点M（4+n，﹣n﹣3），
又∵E（4，8），F（4，﹣3），
∴E通过向下平移11个单位得到F．
∵E、F、M、N为顶点的四边形是平行四边形，
∴四边形FEMN是平行四边形或四边形EFNM是平行四边形．
①当四边形EFMN是平行四边形，
∴M向下平移11个单位得N，
∴N坐标为（4+n，﹣n﹣14），
又N在抛物线y=﹣x²+4x上，
∴n²﹣2n﹣44=0，
解得：n₁=1+3，n₂=1﹣3（不合题意，舍去） ；
 ②当四边形EFNM是平行四边形，
∴M向上平移11个单位得N，
∴N坐标为（4+n，﹣n+8），
又N在抛物线y=﹣x²+4x上，
∴n²﹣2n=0，解得：n₁=2，n₂=0（不合题意，舍去），
∴n的值为2，1+3．