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【题目】如图1,在平面直角坐标系中,抛物线与直线交于点和点,与轴交于点.

1)求出直线和抛物线的函数表达式;

2)在图1中,平移线段,恰好可以使得点落在直线上,并且点落在抛物线上,点对应的点分别为,求此时点的坐标(点在第四象限);

3)如图2,在(2)的条件下,在抛物线上是否存在点(不与点重合),使得面积与面积相等?若存在,直接写出点的坐标;若不存在,请说明理由.(点在第一象限)

【答案】1;(2;(3)存在,P的坐标为(14),(2+-4-2)或(2-2-4)..

【解析】

1)将点B-2-5)代入直线y=x+m即可求出直线解析式,将An0)代入直线解析式y=x-3即可求出点A坐标,将AB代入抛物线y=-x2+bx+c即可求出抛物线解析式;
2)先根据直线AB的解析式设出点N坐标,根据平移的性质可知xA-xC=xM-xNyC-yA=yN-yM,将CAN三点坐标代入即可求出含字母的点M的坐标,将M的坐标代入二次函数解析式即可求出M的具体值;
3)分两种情况讨论,当点PMC上方的抛物线上时,过点ACM的平行线交抛物线于点P,交y轴于点E,求出AE的解析式,再求出其与抛物线交点即可,当点PMC下方的抛物线上时,先找出点E关于点C的对称点O,然后按照相同的方法即可求出点P

1)将代入

代入

代入

解得:

2)∵在中,

时,

∵点在直线上,

∴设

如图1,由平移的性质知,四边形是平行四边形,

代入

解得:(舍去),

3)①当如图2-1,过点的平行线,交抛物线于点,交轴于点,此时的面积与的面积相等,

代入

解得:

∴设

将点代入

联立

解得:

.

②当点PAC下方的抛物线上时,
yAE=-2x+6中,
x=0时,y=6
E06),
则点E与原点O关于点C对称,过点OCM的平行线l
yl=-2x
联立y=-x2+2x+3yl=-2x
-x2+2x+3=-2x
解得x1=2+x2=2-
P2+-4-2)或(2-2-4),

综上所述,P的坐标为(14),(2+-4-2)或(2-2-4).

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