【题目】如图1,在平面直角坐标系中,抛物线与直线交于点和点,与轴交于点.
(1)求出直线和抛物线的函数表达式;
(2)在图1中,平移线段,恰好可以使得点落在直线上,并且点落在抛物线上,点、对应的点分别为、,求此时点的坐标(点在第四象限);
(3)如图2,在(2)的条件下,在抛物线上是否存在点(不与点重合),使得面积与面积相等?若存在,直接写出点的坐标;若不存在,请说明理由.(点在第一象限)
【答案】(1);(2);(3)存在,P的坐标为(1,4),(2+,-4-2)或(2-,2-4)..
【解析】
(1)将点B(-2,-5)代入直线y=x+m即可求出直线解析式,将A(n,0)代入直线解析式y=x-3即可求出点A坐标,将A,B代入抛物线y=-x2+bx+c即可求出抛物线解析式;
(2)先根据直线AB的解析式设出点N坐标,根据平移的性质可知xA-xC=xM-xN,yC-yA=yN-yM,将C,A,N三点坐标代入即可求出含字母的点M的坐标,将M的坐标代入二次函数解析式即可求出M的具体值;
(3)分两种情况讨论,当点P在MC上方的抛物线上时,过点A作CM的平行线交抛物线于点P,交y轴于点E,求出AE的解析式,再求出其与抛物线交点即可,当点P在MC下方的抛物线上时,先找出点E关于点C的对称点O,然后按照相同的方法即可求出点P.
(1)将代入,
得,
∴,
把代入,
得,
∴,
∴,
将,代入,
得,
解得:,,
∴;
(2)∵在中,
当时,,
∴,
∵点在直线上,
∴设,
如图1,由平移的性质知,四边形是平行四边形,
∴,,
∵,,,
∴,
将代入,
得,
解得:(舍去),,
∴;
(3)①当如图2-1,过点作的平行线,交抛物线于点,交轴于点,此时的面积与的面积相等,
将,代入,
得,
解得:,,
∴,
∵,
∴设,
将点代入,
得,
∴,
联立与,
得,
解得:,,
∴.
②当点P在AC下方的抛物线上时,
在yAE=-2x+6中,
当x=0时,y=6,
∴E(0,6),
则点E与原点O关于点C对称,过点O作CM的平行线l,
则yl=-2x,
联立y=-x2+2x+3与yl=-2x,
得-x2+2x+3=-2x,
解得x1=2+,x2=2-,
∴P(2+,-4-2)或(2-,2-4),
综上所述,P的坐标为(1,4),(2+,-4-2)或(2-,2-4).
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【题目】如图,AB是半圆O的直径,C是AB延长线上的点,AC的垂直平分线交半圆于点D,交AC于点E,连接DA,DC.已知半圆O的半径为3,BC=2.
(1)求AD的长.
(2)点P是线段AC上一动点,连接DP,作∠DPF=∠DAC,PF交线段CD于点F.当△DPF为等腰三角形时,求AP的长.
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【题目】在一个不透明的袋子里有1个红球,1个黄球和n个白球,它们除颜色外其余都相同.
(1)从这个袋子里摸出一个球,记录其颜色,然后放回,摇均匀后,重复该实验,经过大量实验后,发现摸到白球的频率稳定于0.5左右,求n的值;
(2)在(1)的条件下,先从这个袋中摸出一个球,记录其颜色,放回,摇均匀后,再从袋中摸出一个球,记录其颜色.请用画树状图或者列表的方法,求出先后两次摸出不同颜色的两个球的概率.
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【题目】如图一次函数y=kx+b的图象与反比例函数 (x > 0)的图象交于A(2,–l),B(,n)两点,直线y=2与y轴交于点C.
(1)求反比例函数的解析式;
(2)求一次函数的解析式;
(3)求△ABC的面积.
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【题目】如图,在正方形ABCD中,E是边CD的中点.
(1)用直尺和圆规作⊙O,使⊙O经过点A、B、E(保留作图痕迹,不写作法);
(2)若正方形ABCD的边长为2,求(1)中所作⊙O的半径.
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【题目】某服装店销售一批衬衫,每件进价元,开始以每件元的价格销售,每星期能卖出件,后来因库存积压,决定降价销售,经两次降价后的每件售价元,每星期能卖出件.
已知两次降价百分率相同,求每次降价的百分率;
聪明的店主在降价过程中发现,适当的降价既可增加销售又可增加收入,且每件衬衫售价每降低元,销售会增加件,若店主想要每星期获利元,应把售价定为多少元?
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【题目】已知m,n是实数,定义运算“*”为:m*n=mn+n.
(1)分别求4*(﹣2)与4*的值;
(2)若关于x的方程x*(a*x)=﹣有两个相等的实数根,求实数a的值.
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【题目】四边形ABCD中,AC、BD相交于点O,能判别这个四边形是正方形的条件是( )
A.OA =OB =OC=OD,AC⊥BDB.AB∥CD,AC=BD
C.AD∥BC,∠A=∠CD.OA=OC,OB=OD,AB=AC
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【题目】在平面直角坐标系xOy中,M为直线l:x=a上一点,N是直线l外一点,且直线MN与x轴不平行,若MN为某个矩形的对角线,且该矩形的边均与某条坐标轴垂直,则称该矩形为直线l的“伴随矩形”.如图为直线l的“伴随矩形”的示意图.
(1)已知点A在直线l:x=2上,点B的坐标为(3,﹣2)
①若点A的纵坐标为0,则以AB为对角线的直线l的“伴随矩形”的面积是 ;
②若以AB为对角线的直线l的“伴随矩形”是正方形,求直线AB的表达;
(2)点P在直线l:x=m上,且点P的纵坐标为4,若在以点(2,1),(﹣2,1),(﹣2,﹣1),(2,﹣1)为顶点的四边形上存在一点Q,使得以PQ为对角线的直线l的“伴随矩形”为正方形,直接写出m的取值范围.
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