Question

4．对于关于x的一次函数y=kx+b（k≠0），我们称函数y_[m]=$\left\{\begin{array}{l}{kx+b（x≤m）}\\{-kx-b（x＞m）}\end{array}\right.$为它的m分函数（其中m为常数）．
例如，y=3x+2的4分函数为：当x≤4时，y_[4]=3x+2；当x＞4时，y_[4]=-3x-2．
（1）如果y=-x+1的2分函数为y_[2]，
①当x=4时，y_[2]=3；②当y_[2]=3时，x=4或-2．
（2）如果y=x+1的-1分函数为y_[-1]，求双曲线y=$\frac{2}{x}$与y_[-1]的图象的交点坐标；
（3）从下面两问中任选一问作答：
①设y=-x+2的m分函数为y_[m]，如果抛物线y=x²与y_[m]的图象有且只有一个公共点，直接写出m的取值范围．
②如果点A（0，t）到y=-x+2的0分函数y_[0]的图象的距离小于1，直接写出t的取值范围．

Answer 1

分析 （1）先写出函数的2分函数，代入即可，注意，函数值时3时分两种情况代入；
（2）先写出函数的-1分函数，分两种情况和双曲线解析式联立求解即可；
（3）①先写出函数m分函数，联立方程组，转化成方程求解即可，
②先写出函数0分函数，根据点到直线的距离公式求出t的范围．

解答 解：（1）y=-x+1的2分函数为：当x≤2时，y_[2]=-x+1；当x＞2时，y_[2]=x-1．
当x=4时，y_[2]=4-1=3，
当y_[2]=3时，
如果x≤2，则有，-x+1=3，
∴x=-2，
如果x＞2，则有，x-1=3，
∴x=4，
故答案为3，4或-2；
（2）当y=x+1的-1分函数为y_[-1]，
∴当x≤-1时，y_[-1]=x+1①，
当x＞-1时，y_[-1]=-x-1②，
∵双曲线y=$\frac{2}{x}$③，
联立①③解得，$\left\{\begin{array}{l}{x=1}\\{y=2}\end{array}\right.$（舍）$\left\{\begin{array}{l}{x=-2}\\{y=-1}\end{array}\right.$，
∴它们的交点坐标为（-2，-1），
联立②③时，方程无解，
∴双曲线y=$\frac{2}{x}$与y_[-1]的图象的交点坐标（-2，-1）；
（3）①∵y=-x+2的m分函数为y_[m]，
∴x≤m时，y_[m]=-x+2①，
当x＞m时，y_[m]=x-2②，
∵抛物线y=x²③与y_[m]的图象有且只有一个公共点，
联立①③，则有x²=-x+2，
∴x=-2，或x=1，
∵只有一个公共点，
∴-2≤m＜1
联立②③，则有x²=x-2，
∴此方程无解，
②∵y=-x+2的0分函数y_[0]，
∴Ⅰ、当x≤0时，y_[0]=-x+2，
∴d=$\frac{|0+t-2|}{\sqrt{2}}$＜1，
∴2-$\sqrt{2}$＜t＜2+$\sqrt{2}$，
∵x≤0，
∴2＜t＜2+$\sqrt{2}$，
当x＞0时，y_[0]=x-2，
∴d=$\frac{|0-t-2|}{\sqrt{2}}$＜1，
∴-2-$\sqrt{2}$＜t＜-2+$\sqrt{2}$，
∵x＞0，
∴-2＜t＜-2+$\sqrt{2}$，
∴点A（0，t）到y=-x+2的0分函数y_[0]的图象的距离小于1，t的取值范围2＜t＜2+$\sqrt{2}$，-2＜t＜-2+$\sqrt{2}$．

点评 此题是二次函数综合题，主要考查了新定义，函数图象的交点坐标的求法，点到直线的距离，解本题的关键是理解新定义的基础上借助已学知识解决问题．