Question

14．如图，在△ABC中，AB=AC，AD是BC边上的中线，以AD为直径作⊙O，连接BO并延长至点E，使得OE=OB，交⊙O于点F，连接AE，CE．
（1）求证：AE是⊙O的切线；
（2）求证：四边形ADCE是矩形；
（3）若BD=$\frac{1}{2}$AD=4，求阴影部分的面积．

Answer 1

分析 （1）利用等腰三角形的三线合一的性质，得出∠ODB=90°，从而得出△BOD≌△EOA，得出∠OAE=∠ODB=90°，即可；
（2）利用（1）△BOD≌△EOA和三角形的中线得出结论；
（3）先判断出AE=OA=4，阴影部分面积用三角形OAE的面积减去扇形OAF的面积即可．

解答 解：（1）证明：∵AB=AC，AD是BC边上的中线，
∴∠ODB=90°，
在△BOD和△EOA中，
$\left\{\begin{array}{l}{OD=OA}\\{∠DOB=∠AOE}\\{OB=OE}\end{array}\right.$，
∴△BOD≌△EOA，
∴∠OAE=∠ODB=90°，
∵点A在圆上，
∴AE是⊙O的切线；
（2）由（1）知，△BOD≌△EOA，
∴BD=AE，
∵AD是BC边上的中线，
∴CD=BD，
∴AE=CD，
∵∠OAE=∠ODB=90°，
∴AE∥BC，
∴四边形ADCE是平行四边形
∵∠OAE=90°，
∴平行四边形ADCE是矩形；
（3）∵∠ODB=90°，BD=OD，
∴∠BOD=45°，
∴∠AOE=45°
∵∠OAE=90°，
∴AE=OA=$\frac{1}{2}$AD=4
∴S_△OAE=$\frac{1}{2}$×OA×AE=$\frac{1}{2}$×4×4=8，
S_扇形OAF=π×4²×$\frac{45}{360}$=2π，
∴S_阴影部分=S_△OAE-S_扇形OAF=8-2π．

点评 此题是圆的综合题，主要考查了全等三角形的性质和判定，切线的判定方法，平行四边形，矩形的性质和判定，等腰三角形的判定，解本题的关键是△BOD≌△EOA，是中考常考题．