Question

17．如图，二次函数y=ax²+bx+c（a≠0）图象的一部分，对称轴为x=$\frac{1}{2}$，且经过点（2，0）．下列结论：①ac＜0，②4a+2b+c＜0，③a-b+c=0，④若（-2，y₁）（-3，y₂）是抛物线上的两点，则y₁＜y₂．其中正确结论的个数是（　　）

• A． 1
• B． 2
• C． 3
• D． 4

Answer 1

分析 根据抛物线开口向下，可得a＜0，抛物线与y轴的正半轴相交可得c＞0，可对①进行判断；由于x=2时，对应的函数值为0，由此可对②进行判断；由抛物线对称轴为x=$\frac{1}{2}$，根据抛物线的对称性可得到抛物线与x轴另一个交点坐标为（-1，0），则a-b+c=0，可对③进行判断；点（-2，y₁）和（-3，y₂）在对称轴左侧，y随x的增大而增大，可对④进行判断．

解答 解：①∵二次函数的图象开口向下，
∴a＜0，
∵二次函数的图象交y轴的正半轴于一点，
∴c＞0，
∴ac＜0．
故①正确；
②把x=2代入y=ax²+bx+c得：y=4a+2b+c，
∵抛物线经过点（2，0），
∴当x=2时，y=0，即4a+2b+c=0
故②错误；
③∵对称轴是直线x=$\frac{1}{2}$，且经过点（2，0），
∴抛物线与x轴另一个交点坐标为（-1，0），
∴a-b+c=0，所以③正确；
④∵点（-2，y₁）和（-3，y₂）在对称轴左侧，
∴y随x的增大而增大，
∵-2＞-3，
∴y₁＞y₂，
故④错误；
综上所述，正确的结论是①③．
故选B．

点评 本题考查了二次函数的图象与系数的关系：二次函数y=ax²+bx+c（a≠0）的图象为抛物线，当a＜0，抛物线开口向下；对称轴为直线x=-$\frac{b}{2a}$；抛物线与y轴的交点坐标为（0，c）．