Question

如图，抛物线y=ax²+bx+3（a≠0）的图象经过A（3，0），B（4，1）两点，且与y轴交于点C．
（1）直接写出点C的坐标；
（2）试求抛物线y=ax²+bx+3（a≠0）的函数关系式；
（3）连接AC，点E为线段AC上的动点（不与A、C重合），经过A、E、O三点的圆交直线AB于点F．当△OEF的面积取得最小值时，请求出点E的坐标．

Answer 1

解：（1）令x=0，可得y=3，
故点C的坐标为（0，3）；

（2）将点A（3，0），B（4，1）代入可得：
，
解得：，
故函数解析式为y=x²-x+3；

（3）如图，∵点A（3，0），点B（4，1），
∴直线AB的解析式为：y=x-3，
∵A（3，0），C（0，3），
∴OA=3，OC=3，
∴tan∠OAC===1，
∴∠OAC=45°，
∴∠OAC=∠OAF=45°，
∵∠OEF=∠OAF=45°，∠OFE=∠OAE=45°，
∴OE=OF，∠EOF=180°-45°×2=90°，
∴△OEF是等腰直角三角形，
∴S_△OEF=×OE×OF=OE²，
当OE最小时，S_△FEO最小，
根据等腰直角三角形的性质，当OE⊥AC时，OE最小，
此时点E为AC的中点，
故点E的坐标为（，）．
分析：（1）令x=0，求解即可得出点C的坐标；
（2）把点A（3，0），B（4，1）的坐标代入抛物线解析式，利用待定系数法求二次函数解析式；
（3）根据点AB的解析式求出直线AB与x轴的夹角为45°，根据点A、C的坐标利用正切函数求出∠OAC=45°，再根据同圆或等圆中，同弧所对的圆周角相等求出∠OEF=∠OFE=45°，然后求出△OEF是等腰直角三角形，从而求出OE最小时，△OEF的面积取得最小值，再根据等腰直角三角形的性质OE⊥AC时最短，此时点E恰好为AC的中点，然后求解即可．
点评：本题是二次函数综合题型，主要考查了待定系数法求二次函数解析式，锐角三角函数，以及等腰直角三角形的性质，同圆或等圆中，同弧所对的圆周角相等的性质，（3）根据角的度数为45°求出△OEF是等腰直角三角形是解题的关键．