Question

【题目】如图，抛物线与直线交于A，B两点，交x轴与D，C两点，连接AC，已知A（0，3），C（3，0）．（1）抛物线的解析式__；（2）设E为线段AC上一点（不含端点），连接DE，一动点M从点D出发，沿线段DE以每秒一个单位速度运动到E点，再沿线段EA以每秒个单位的速度运动到A后停止．若使点M在整个运动中用时最少，则点E的坐标__．

Answer 1

【答案】y＝x2﹣x+3； （2，1）．

【解析】

（1）根据待定系数法，可得函数解析式；

（2）根据锐角三角函数，可得AE与NE的关系，根据路程与速度，可得点M在整个运动中所用的时间为DE＋EN，根据两点之间线段最短，可得当D′、E、N三点共线时，DE＋EN最小，根据矩形的判定与性质，可得ND′＝OC＝3，ON＝D′C＝DC，根据抛物线与x轴的交点可得OD的长，再求ON的长，可得答案．

解：（1）把A（0，3），C（3，0）代入，

得，解得．

∴抛物线的解析式为y＝x2﹣x+3，

故答案为y＝x2﹣x+3；

（2）∵A（0，3），C（3，0），

∴OA＝OC＝3，

∴△AOC是等腰直角三角形，

∴∠OAC＝45°，

过点E作EN⊥y轴于N，如图，

在Rt△ANE中，EN＝AEsin45°＝AE，即AE＝EN，

∴点M在整个运动中所用的时间为＝DE+EN，

作点D关于AC的对称点D′，连接D′E，

则有D′E＝DE，D′C＝DC，∠D′CA＝∠DCA＝45°，

∴∠D′CD＝90°，DE+EN＝D′E+EN，

根据两点之间线段最短可得：当D′、E、N三点共线时，DE+EN＝D′E+EN最小，

此时，∵∠D′CD＝∠D′NO＝∠NOC＝90°，

∴四边形OCD′N是矩形，

∴ND′＝OC＝3，ON＝D′C＝DC．

对于y＝x2﹣x+3，当y＝0时，有x2﹣x+3＝0，

解得：x1＝2，x2＝3．

∴D（2，0），OD＝2，

∴ON＝DC＝OC﹣OD＝3﹣2＝1，

∴点E的坐标为（2，1），

故答案为（2，1）．