Question

7．阅读材料：
对于平面内的任意两点A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
由勾股定理易知A、B两点间的距离公式为：
AB=${\sqrt{{{（{{x_2}-{x_1}}）}^2}+{{（{{y_2}-{y_1}}）}^2}}^{\;}}$．
如：已知P₁（-1，2），P₂（0，3），
则${P_1}{P_2}=\sqrt{{{（-1-0）}^2}+{{（2-3）}^2}}=\sqrt{2}$
解答下列问题：
已知点E（6，10），F（0，2），C（0，1）．
（1）直接应用平面内两点间距离公式计算，
E、F之间的距离为10及代数式$\sqrt{{x^2}+{{（{y-2}）}^2}}+\sqrt{{{（{x-6}）}^2}+{{（{y-10}）}^2}}$的最小值为10；
（2）求以C为顶点，且经过点E的抛物线的解析式；
（3）①若点D是上述抛物线上的点，且其横坐标为-3，试求DF的长；
②若点P是该抛物线上的任意一点，试探究线段FP的长度与点P纵坐标的数量关系，并证明你的猜想．
③我们知道“圆可以看成是所有到定点的距离等于定长的点的集合”．类似地，抛物线可以看成是到定点的距离等于到定直线的距离的点的集合．

Answer 1

分析 （1）根据两点间的距离公式可得EF=$\sqrt{（0-6）^{2}+（2-10）^{2}}$=10，设M（x，y），则EM+FM=$\sqrt{{x^2}+{{（{y-2}）}^2}}+\sqrt{{{（{x-6}）}^2}+{{（{y-10}）}^2}}$，判断出当点M在E，F之间，且点E，M，F三点在一条直线上时，EM+FM=$\sqrt{{x^2}+{{（{y-2}）}^2}}+\sqrt{{{（{x-6}）}^2}+{{（{y-10}）}^2}}$有最小值即可得到结论；
（2）把点C，E坐标代入抛物线的解析式y=a（x-0）²+1中，则结论可得；
（3）①D是上述抛物线上的点，且其横坐标为-3，求出D（-3，$\frac{13}{4}$），代入两点间的距离公式即可得到DF=$\sqrt{（0+3）^{2}+（2-\frac{13}{4}）^{2}}$=$\frac{13}{4}$；
②相等，由点P是该抛物线上的任意一点，设点P的坐标为（a，$\frac{1}{4}$a²+1），代入两点间的距离公式即可得到线段FP的长度与点P纵坐标相等；
③到定点的距离等于到定直线的距离的点的集合．

解答 解：（1）∵E（6，10），F（0，2），
∴EF=$\sqrt{（0-6）^{2}+（2-10）^{2}}$=10，
设M（x，y），则EM+FM=$\sqrt{{x^2}+{{（{y-2}）}^2}}+\sqrt{{{（{x-6}）}^2}+{{（{y-10}）}^2}}$，
当点M在E，F之间，且点E，M，F三点在一条直线上时，EM+FM=$\sqrt{{x^2}+{{（{y-2}）}^2}}+\sqrt{{{（{x-6}）}^2}+{{（{y-10}）}^2}}$有最小值，
EM+FM=$\sqrt{{x^2}+{{（{y-2}）}^2}}+\sqrt{{{（{x-6}）}^2}+{{（{y-10}）}^2}}$的最小值=EF=10，
故答案为：10，10；

（2）设以C为顶点，且经过点E的抛物线的解析式为：y=a（x-0）²+1，
∴10=36a+1，
∴a=$\frac{1}{4}$，
∴以C为顶点，且经过点E的抛物线的解析式为：y=$\frac{1}{4}$x²+1；

（3）①∵D是上述抛物线上的点，且其横坐标为-3，
∴y=$\frac{1}{4}$×9+1=$\frac{13}{4}$，
∴D（-3，$\frac{13}{4}$），
∴DF=$\sqrt{（0+3）^{2}+（2-\frac{13}{4}）^{2}}$=$\frac{13}{4}$；
②相等，理由如下：
∵点P是该抛物线上的任意一点，
∴设点P的坐标为（a，$\frac{1}{4}$a²+1），
∴FP=$\sqrt{（a-0）^{2}+（\frac{1}{4}{a}^{2}+1-2）^{2}}$=$\sqrt{\frac{1}{16}{a}^{4}+\frac{1}{2}{a}^{2}+1}$=$\sqrt{（\frac{1}{4}{a}^{2}+1）^{2}}$=$\frac{1}{4}$a²+1；
∴线段FP的长度与点P纵坐标相等．
③到定点的距离等于到定直线的距离的点的集合．
故答案为：到定点的距离等于到定直线的距离的点的集合．

点评 本题考查了待定系数法求二次函数的解析式，两点间的距离公式，根据题意会应用两点间的距离公式解决问题是解题的关键．