Question

2．如图1：在平面直角坐标系xOy中，M为x轴正半轴上一点，⊙M与x轴交于A、B两点，与 y轴交于C、D两点，若点M的坐标为（2，0），B点的坐标为（6，0）．
（1）求C点的坐标；
（2）如图2连接AC，若E为⊙M上一点，且弦AE长为$4\sqrt{2}$，求∠EAC的度数．
（3）如图3：K、L分别为 $\widehat{BC}$、$\widehat{BD}$上的动点，连接AK，BC交于点R，AL、BD交于点G，若∠KAL=60°  现给出两个结论：①△ARG的周长不变；②△BRG的周长不变．其中有一个结论正确，请选择正确结论并求值．

Answer 1

分析 （1）连接MC，由点M、B的坐标得出OM=2，OB=6，得出MB=4，MC=MA=4，由勾股定理求出OC，即可得出点C的坐标；
（2）分两种情况：①作MN⊥AE于N，由垂径定理得出AN，由勾股定理求出MN，得出∠MAN=45°，即可得出结果；
②同①求出∠MAN=45°，即可得出结果；
（3）延长BD到E，使DE=CR，连接AE，由垂径定理得出AC=AD，BC=BD，由勾股定理求出BC，由SAS证明△ACR≌△ADE，得出AR=AE，∠CAR=∠DAE，再证明△ARG≌△AEG，得出RG=EG，即可得出△BRG的周长．

解答 解：（1）连接MC，如图1所示：
∵M的坐标为（2，0），B点的坐标为（6，0），
∴OM=2，OB=6，
∴MB=4，
∴MC=MA=4，
∵∠COM=90°，
∴OC=$\sqrt{M{C}^{2}-O{M}^{2}}$=$\sqrt{{4}^{2}-{2}^{2}}$=2$\sqrt{3}$，
∴点C的坐标为（0，2$\sqrt{3}$）；
（2）分两种情况：①如图2所示：
作MN⊥AE于N，则AN=EN=$\frac{1}{2}$AE=2$\sqrt{2}$，
∴MN=$\sqrt{M{A}^{2}-A{N}^{2}}$=2$\sqrt{2}$，
∴AN=MN，
∴∠MAN=45°，
∵OA=2，OC=2$\sqrt{3}$，∠AOC=90°，
∴tan∠OAC=$\frac{OC}{OA}=\frac{2\sqrt{3}}{2}$=$\sqrt{3}$，
∴∠OAC=60°，
∴∠EAC=∠OAC-MAN=15°；
②如图3所示：作MN⊥AE于N，
同①得出∠MAN=45°，
∴∠EAC=∠OAC+∠MAN=105°；
综上所述：∠EAC的度数为15°或105°；   
（3）△BRG的周长不变，为8$\sqrt{3}$；理由如下：
延长BD到E，使DE=CR，连接AE，如图4所示：
∵AB是⊙M 的直径，AB⊥CD，
∴∠ACR=∠ADB=90°，$\widehat{AC}=\widehat{AD}$，$\widehat{BC}=\widehat{BD}$，
∴∠ADE=90°，AC=AD，BC=BD=$\sqrt{O{C}^{2}+O{B}^{2}}$=$\sqrt{（2\sqrt{3}）^{2}+{6}^{2}}$=4$\sqrt{3}$，
在△ACR和△ADE中，
$\left\{\begin{array}{l}{AC=AD}&{\;}\\{∠ACR=∠ADE=90°}&{\;}\\{CR=DE}&{\;}\end{array}\right.$，
∴△ACR≌△ADE（SAS），
∴AR=AE，∠CAR=∠DAE，
∵∠OAC=60°，
同理∠OAD=60°，
∵∠KAL=60°，
∴∠DAG=∠BAR，
∴∠EAG=∠OAC=∠KAL=60°，
在△ARG和△AEG中，
$\left\{\begin{array}{l}{AR=AE}&{\;}\\{∠RAG=∠EAG}&{\;}\\{AG=AG}&{\;}\end{array}\right.$，
∴△ARG≌△AEG（SAS），
∴RG=EG，
∴△BRG的周长=BR+BG+RG=BC+BD=2BC=8$\sqrt{3}$．

点评 本题是圆的综合题目，考查了勾股定理、圆周角定理、垂径定理、全等三角形的判定与性质、三角函数、等腰直角三角形的判定与性质等知识；本题难度较大，综合性强．特别是（2）中需要进行分类讨论，运用三角函数才能得出结果；（3）中需要通过作辅助线运用垂径定理、证明三角形全等才能得出结果．