Question

17．在三角形ABC中，AD，CF，BE分别为边BC，AB，AC上的高，D，F，E分别为垂足，H为三角形AC的垂心，求证：H为三角形DEF的内心．

Answer 1

分析 首先根据HD⊥BC，HF⊥BF证得B、D、H、F四点共圆，从而得到∠ADF=∠ABE，同理得到C、D、H、E四点共圆，B、C、E、F四点共圆，进一步得到∠ADE=∠ECF，∠ABE=∠ACF，从而证得DH是∠DEF的角平分线、EB、FC分别平分∠DEF、∠DFE，最后得到H是△ABC的内心．

解答 证明：∵HD⊥BC，HF⊥BF，
∴B、D、H、F四点共圆，
∴∠ADF=∠ABE，
同理，C、D、H、E四点共圆、B、C、E、F四点共圆，
∴∠ADE=∠ECF，∠ABE=∠ACF，
∴DH是∠DEF的角平分线，同理EB、FC分别平分∠DEF、∠DFE，
∵AD、BE、CF三线共点，
∴H是△ABC的内心．

点评 本题考查了三角形的五心的知识，解题的关键是根据题意证得四点共圆，从而利用角平分线的判定定理证得点H到三角形的三边的距离相等，从而证得结论．