Question

9．如图，在等腰梯形ABCD中，AD∥BC，AB=DC=50，AD=70，BC=130，点P从点B出发沿折线段BA-AD-DC以每秒5个单位长的速度向C匀速运动，点Q从点C出发沿线段CB方向以每秒3个单位长的速度匀速运动，点P、点Q同时开始运动，当P点与点C重合时，停止运动，点Q也随之停止，设点P、Q运动的时间是t秒
（1）当点P到达终点C时，求t的值，并指出此时PQ的长；
（2）当点P运动到AD上时，t为何值时，四边形PQCD是平行四边形；
（3）设△PBQ的面积为S，求S与t的函数关系式．

Answer 1

分析 （1）首先根据时间=路程÷速度，求出t的值是多少；然后根据路程=速度×时间，用点Q的速度乘以运动的时间，求出PQ的长是多少即可．
（2）当PD=CQ时，四边形PQCD是平行四边形，据此求出t的值是多少即可．
（3）根据题意，分三种情况：①当0≤t≤10时；②当10＜t≤24时；③当24＜t≤34时；然后根据三角形的面积的求法，求出S与t的函数关系式即可．

解答 解：（1）（50+70+50）÷5
=170÷5
=34（秒）
34×3=102
∴t的值是34时，此时PQ的长是102．

（2）如图1，
，
当PD=CQ时，四边形PQCD是平行四边形，
∴120-5t=3t
解得t=15，
即t为15时，四边形PQCD是平行四边形．

（3）①如图2，当0≤t≤10时，作PE⊥BC于点E，AF⊥BC于点F，
，
∵PE⊥BC，AF⊥BC，
∴PE∥AF，
∴$\frac{BP}{AB}=\frac{PE}{AF}$，
即$\frac{5t}{50}$=$\frac{PE}{\sqrt{{50}^{2}{-[（130-70）÷2]}^{2}}}$，
∴$\frac{t}{10}=\frac{PE}{40}$，
∴PE=4t，
∴S=$\frac{1}{2}BQ•PE$
=$\frac{1}{2}×（130-3t）$×4t
=-6t²+260t

②如图3，当10＜t≤24时，作PE⊥BC于点E，
，
S=$\frac{1}{2}BQ•PE$
=$\frac{1}{2}×（130-3t）$×$\sqrt{{50}^{2}{-[（130-70）÷2]}^{2}}$
=$\frac{1}{2}×（130-3t）×40$
=-60t+2600

③如图4，当24＜t≤34时，作PE⊥BC于点E，DF⊥BC于点F，
，
∵PE⊥BC，DF⊥BC，
∴PE∥DF，
∴$\frac{CP}{CD}=\frac{PE}{DF}$，
即$\frac{50+70+50-5t}{50}=\frac{PE}{40}$，
∴$\frac{170-5t}{50}=\frac{PE}{40}$，
∴PE=136-4t，
∴S=$\frac{1}{2}BQ•PE$
=$\frac{1}{2}×（130-3t）$×（136-4t）
=6t²-464t+8840
综上，可得S=$\left\{\begin{array}{l}{-{6t}^{2}+260t（0≤t≤10）}\\{-60t+2600（10＜t≤24）}\\{{6t}^{2}-464t+8840（24＜t≤34）}\end{array}\right.$．

点评 （1）此题主要考查了四边形综合题，考查了分析推理能力，考查了分类讨论思想的应用，考查了数形结合思想的应用，要熟练掌握．
（2）此题还考查了行程问题中速度、时间和路程的关系：速度×时间=路程，路程÷时间=速度，路程÷速度=时间，要熟练掌握．
（3）此题还考查了三角形的面积的求法，要熟练掌握．