Question

4．如图，直线AB分别交y轴、x轴于A、B两点，OA=2，tan∠ABO=$\frac{1}{2}$，抛物线y=-x²+bx+c过A、B两点．
（1）求直线AB和这个抛物线的解析式；
（2）设抛物线的顶点为D，求△ABD的面积；
（3）作垂直x轴的直线x=t，在第一象限交直线AB于M，交这个抛物线于N．求当t取何值时，MN的长度l有最大值？最大值是多少？

Answer 1

分析 （1）求出OB，把A、B的坐标代入y=-x²+bx+c和y=kx+e求出即可；
（2）求出D的坐标，再根据面积公式求出即可；
（3）求出M、N的坐标，求出MN的值，再化成顶点式，即可求出答案．

解答 解：（1）∵在Rt△AOB中，tan∠ABO=$\frac{AO}{BO}$，OA=2，
即$\frac{2}{BO}$=$\frac{1}{2}$，
∴0B=4，
∴A（0，2），B（4，0），
把A、B的坐标代入y=-x²+bx+c得：$\left\{\begin{array}{l}{c=2}\\{-16+4b+c=0}\end{array}\right.$，
解得：b=$\frac{7}{2}$，
∴抛物线的解析式为y=-x²+$\frac{7}{2}$x+2，
设直线AB的解析式为y=kx+e，把A、B的坐标代入得：$\left\{\begin{array}{l}{c=2}\\{4k+c=0}\end{array}\right.$，
解得：k=-$\frac{1}{2}$，e=2，
所以直线AB的解析式是y=-$\frac{1}{2}$x+2；

（2）过点D作DE⊥y轴于点E，
由（1）抛物线解析式为y=-x²+$\frac{7}{2}$x+2=-（x-$\frac{7}{4}$）²+$\frac{81}{16}$，
即D的坐标为（$\frac{7}{4}$，$\frac{81}{16}$），
则ED=$\frac{7}{4}$，EO=$\frac{81}{16}$，
AE=EO-OA=$\frac{49}{16}$，
S_△ABD=S_梯形DEOB-S_△DEA-S_△AOB=$\frac{1}{2}$×（$\frac{7}{4}$+4）×$\frac{81}{16}$-$\frac{1}{2}×$$\frac{7}{4}$×$\frac{49}{16}$-$\frac{1}{2}×$4×2=$\frac{63}{8}$；

（3）由题可知，M、N横坐标均为t．
∵M在直线AB：y=-$\frac{1}{2}$x+2上
∴M（t，-$\frac{1}{2}$t+2）
∵N在抛物线y=-x²+$\frac{7}{2}$x+2上
∴M（t，-t²+$\frac{7}{2}$t+2），
∵作垂直x轴的直线x=t，在第一象限交直线AB于M，交这个抛物线于N，
∴MN=-t²+$\frac{7}{2}$t+2-（-$\frac{t}{2}$+2）=-t²+4t=-（t-2）²+4，
其中0＜t＜4，
∴当t=2时，MN_最大=4，
所以当t=2时，MN的长度l有最大值，最大值是4．

点评 本题考查了用待定系数法求一次函数和二次函数的解析式，二次函数的最值，特殊角的三角函数的应用，能综合运用知识点进行计算是解此题的关键，综合性比较强，难度偏大．